题目内容
【题目】如图所示，抛物线y
x2bxc与直线y
x3分别交于x轴，y轴上的B，C两点，设该抛物线与x轴的另一个交点为A，顶点为D，连接CD交x轴于点E．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）求该抛物线的对称轴和D点坐标；
（3）点F，G是对称轴上两个动点，且FG=2，点F在点G的上方，请直接写出四边形ACFG的周长的最小值；
（4）连接BD，若P在y轴上，且∠PBC=∠DBA+∠DCB，请直接写出点P的坐标．
【答案】（1）
；（2）直线
；（3）
；（4）点P的坐标为
或
【解析】
（1）先根据直线
求出B,C的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的表达式即可；
（2）将抛物线的表达式变为顶点式，即可得到对称轴和D点坐标；
（3）因为AC,FG的值固定，所以只需找到
的最小值即可，过点C作抛物线对称轴
的对称点
，将
向下平移2个单位使F与点G重合，得到
，则
，当
三点共线时，最小，最小值即为
的长度，通过勾股定理求出的值即可求解；
（4）分两种情况：当点P在y轴正半轴时和当点P在y轴负半轴时，首先通过锐角三角函数得出
，从而得出
，设
，则
，通过
建立一个关于m的方程解方程即可求出PC的值，进而OP的长度即可，则P的坐标可求．
解：（1）令
，则
，
令
，则
，解得
，
，
将点
代入
中得，
，
解得
∴抛物线的解析式为；
（2）∵
，
∴抛物线的对称轴为，
；
（3）∵抛物线的对称轴为，
,
，
∵
，
∵四边形ACFG的周长为
，而
，
∴只需找到的最小值即可，
过点C作抛物线对称轴的对称点，将向下平移2个单位使F与点G重合，得到，则，
当三点共线时，最小，最小值即为的长度，
，抛物线对称轴为，
，
，
，
，
∴四边形ACFG的周长的最小值为；
（4）如图，当点P在y轴正半轴时，过点P作
交BC的延长线于点Q，
∵
，
．
设直线
的解析式为
，
将代入解析式中得
，
解得
，
∴直线CB解析式为，
令，则，解得
，
∴
，
，
．
，
，
，
．
，
．
，
.
设，则，
，
，
解得
，
，
，
；
当点P在y轴负半轴时，如图，
同理可得
．
设，则，
，
，
解得
，
，
，
，
综上所述，点P的坐标为或．
【题目】如图1，四边形ABCD为矩形，曲线L经过点D．点Q是四边形ABCD内一定点，点P是线段AB上一动点，作PM⊥AB交曲线L于点M，连接QM．
小东同学发现：在点P由A运动到B的过程中，对于x1＝AP的每一个确定的值，θ＝∠QMP都有唯一确定的值与其对应，x1与θ的对应关系如表所示：
x1＝AP | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
θ＝∠QMP | α | 85° | 130° | 180° | 145° | 130° |
小芸同学在读书时，发现了另外一个函数：对于自变量x2在﹣2≤x2≤2范围内的每一个值，都有唯一确定的角度θ与之对应，x2与θ的对应关系如图2所示：
根据以上材料，回答问题：
（1）表格中α的值为 ．
（2）如果令表格中x1所对应的θ的值与图2中x2所对应的θ的值相等，可以在两个变量x1与x2之间建立函数关系．
①在这个函数关系中，自变量是 ，因变量是 ；（分别填入x1和x2）
②请在网格中建立平面直角坐标系，并画出这个函数的图象；
③根据画出的函数图象，当AP＝3.5时，x2的值约为 ．
【题目】如图，P是直径AB上的一点，AB=6，CP⊥AB交半圆
于点C，以BC为直角边构造等腰Rt△BCD，∠BCD=90°，连接OD．
小明根据学习函数的经验，对线段AP，BC，OD的长度之间的关系进行了探究．
下面是小明的探究过程，请补充完整：
（1）对于点P在AB上的不同位置，画图、测量，得到了线段AP，BC，OD的长度的几组值，如下表：
位置1 | 位置2 | 位置3 | 位置4 | 位置5 | 位置6 | 位置… | |
AP | 0.00 | 1.00 | 2.00 | 3.00 | 4.00 | 5.00 | … |
BC | 6.00 | 5.48 | 4.90 | 4.24 | 3.46 | 2.45 | … |
OD | 6.71 | 7.24 | 7.07 | 6.71 | 6.16 | 5.33 | … |
在AP，BC，OD的长度这三个量中，确定________的长度是自变量，________的长度和________的长度都是这个自变量的函数；
（2）在同一平面直角坐标系xOy中，画出（1）中所确定的函数的图象；
（3）结合函数图象，解决问题：当OD=2BC时，线段AP的长度约为________．
