题目内容

如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,6),B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t(s).当t为何值时,△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标.
若△APQ与△AOB相似,有两种情况.
∵OA=6,OB=8,∠AOB=90°,
∴AB=10.设Q点的坐标是(x,y).
(1)当P与O对应时,△APQ△AOB,
AP
AO
=
AQ
AB
t
6
=
10-2t
10
,即t=
30
11
s,
∴AP=
30
11

∴OP=0A-AP=
36
11

∴BQ=
60
11

∴x=OB-BQ•cosB=8-
60
11
×
8
10
=
40
11

过Q作QC⊥OB于C,
y=QC=QBsinB=
36
11

P(0,
36
11
),Q(
40
11
36
11


(2)当P与O对应时,△APQ△AOB,
AP
AO
=
AQ
AB
,即
t
6
=
10-2t
10

解得:t=
30
11

∴AP=
30
11
,OP=OA-AP=
36
11

∴BQ=
60
11

∴x=OB-BQ•cosB=8-
60
11
×
8
10
=
40
11
,y=QBsinB=
60
11
×
6
10
=
36
11

所以P(0,
36
11
),Q(
40
11
36
11
),
当P与B对应时,△APQ△ABO,
AP
AB
=
AQ
AO
,即
t
10
=
10-2t
6

解得:t=
50
13

∴AP=
50
13
,OP=OA-AP=
28
13

∴BQ=
100
13

∴x=OB-BQ•cosB=8-
100
13
×
8
10
=
24
13
,y=QBsinB=
100
13
×
6
10
=
60
13

所以P(0,
28
13
)Q(
24
13
60
13
),
综上,P(0,
36
11
),Q(
40
11
36
11
)或者P(0,
28
13
)Q(
24
13
60
13
).
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