题目内容
如图,在平面直角坐标系中,已知点A(0,6),B(8,0),动点P从点A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点O移动,同时动点Q从B点开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A移动,设点P,Q移动的时间为t(s).当t为何值时,△APQ与△AOB相似?并求出此时点P与点Q的坐标.
若△APQ与△AOB相似,有两种情况.
∵OA=6,OB=8,∠AOB=90°,
∴AB=10.设Q点的坐标是(x,y).
(1)当P与O对应时,△APQ∽△AOB,
=
,
=
,即t=
s,
∴AP=
,
∴OP=0A-AP=
.
∴BQ=
,
∴x=OB-BQ•cosB=8-
×
=
,
过Q作QC⊥OB于C,
y=QC=QBsinB=
,
P(0,
),Q(
,
)
(2)当P与O对应时,△APQ∽△AOB,
∴
=
,即
=
,
解得:t=
,
∴AP=
,OP=OA-AP=
,
∴BQ=
,
∴x=OB-BQ•cosB=8-
×
=
,y=QBsinB=
×
=
.
所以P(0,
),Q(
,
),
当P与B对应时,△APQ∽△ABO,
∴
=
,即
=
,
解得:t=
,
∴AP=
,OP=OA-AP=
.
∴BQ=
,
∴x=OB-BQ•cosB=8-
×
=
,y=QBsinB=
×
=
.
所以P(0,
)Q(
,
),
综上,P(0,
),Q(
,
)或者P(0,
)Q(
,
).
∵OA=6,OB=8,∠AOB=90°,
∴AB=10.设Q点的坐标是(x,y).
(1)当P与O对应时,△APQ∽△AOB,
AP |
AO |
AQ |
AB |
t |
6 |
10-2t |
10 |
30 |
11 |
∴AP=
30 |
11 |
∴OP=0A-AP=
36 |
11 |
∴BQ=
60 |
11 |
∴x=OB-BQ•cosB=8-
60 |
11 |
8 |
10 |
40 |
11 |
过Q作QC⊥OB于C,
y=QC=QBsinB=
36 |
11 |
P(0,
36 |
11 |
40 |
11 |
36 |
11 |
(2)当P与O对应时,△APQ∽△AOB,
∴
AP |
AO |
AQ |
AB |
t |
6 |
10-2t |
10 |
解得:t=
30 |
11 |
∴AP=
30 |
11 |
36 |
11 |
∴BQ=
60 |
11 |
∴x=OB-BQ•cosB=8-
60 |
11 |
8 |
10 |
40 |
11 |
60 |
11 |
6 |
10 |
36 |
11 |
所以P(0,
36 |
11 |
40 |
11 |
36 |
11 |
当P与B对应时,△APQ∽△ABO,
∴
AP |
AB |
AQ |
AO |
t |
10 |
10-2t |
6 |
解得:t=
50 |
13 |
∴AP=
50 |
13 |
28 |
13 |
∴BQ=
100 |
13 |
∴x=OB-BQ•cosB=8-
100 |
13 |
8 |
10 |
24 |
13 |
100 |
13 |
6 |
10 |
60 |
13 |
所以P(0,
28 |
13 |
24 |
13 |
60 |
13 |
综上,P(0,
36 |
11 |
40 |
11 |
36 |
11 |
28 |
13 |
24 |
13 |
60 |
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