Question

【题目】已知四边形ABCD内接于⊙O，∠ADC=90°，∠DCB＜90°，对角线AC平分∠DCB，延长DA，CB相交于点E．
（1）如图1，EB=AD，求证：△ABE是等腰直角三角形；

（2）如图2，连接OE，过点E作直线EF，使得∠OEF=30°，当∠ACE≥30°时，判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）

证明：∵对角线AC平分∠DCB，

∴∠ACD=∠ACB，

∴=，

∴AD=AB，

∵EB=AD，

∴AB=EB，

∵∠EBA=∠ADC=90°，

∴△ABE是等腰直角三角形

（2）

解：直线EF与⊙O相离．理由如下：

∵∠DCB＜90°，∠ACD=∠ABC，

∵∠ACE≥30°，

∴60°≤∠DCE＜90°，

∴∠AEC≤30°，

∴AE≥AC，

∵OE＞AE，

∴OE＞AC，

作OH⊥EF于H，如图，

在Rt△OEH中，∵∠OEF=30°，

∴OH=OE，

∴OH＞OA，

∴直线EF与⊙O相离．

【解析】（1）由∠ACD=∠ABC得到，则AD=AB，加上EB=AD，则AB=EB，再根据圆内接四边形的性质得∠EBA=∠ADC=90°，于是可判断△ABE是等腰直角三角形
（2）由于∠ACD=∠ABC，∠ACE≥30°，则60°≤∠DCE＜90°，根据三角形边角关系得AE≥AC，而OE＞AE，所以OE＞AC，作OH⊥EF于H，如图，根据含30度的直角三角形三边的关系得OH=OE，所以OH＞OA，则根据直线与圆的位置关系可判断直线EF与⊙O相离．
【考点精析】本题主要考查了等腰直角三角形和切线的判定定理的相关知识点，需要掌握等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线才能正确解答此题．