题目内容
【题目】如图,已知AB是⊙O的直径,点E在⊙O上,过点E的直线EF与AB的延长线交与点F,AC⊥EF,垂足为C,AE平分∠FAC.
(1)求证:CF是⊙O的切线;
(2)∠F=30°时,求的值?
【答案】(1)证明见解析(2)
【解析】试题分析:(1)连接OE,根据角平分线的性质和等边对等角可得出OE∥AC,则∠OEF=∠ACF,由AC⊥EF,则∠OEF=∠ACF=90°,从而得出OE⊥CF,即CF是⊙O的切线;
(2)由OE∥AC,则△OFE∽△AFC,根据相似三角形的面积之比等于相似比的平方,从而得出的值.
试题解析:(1)连接OE,
∵AE平分∠FAC,
∴∠CAE=∠OAE,
又∵OA=OE,∠OEA=∠OAE,∠CAE=∠OEA,
∴OE∥AC,
∴∠OEF=∠ACF,
又∵AC⊥EF,
∴∠OEF=∠ACF=90°,
∴OE⊥CF,
又∵点E在⊙O上,
∴CF是⊙O的切线;
(2)∵∠OEF=90°,∠F=30°,
∴OF=2OE,
又OA=OE,
∴AF=3OE,
又∵OE∥AC,
∴△OFE∽△AFC,
∴,
∴,
∴
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