Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4cm, BC＝12cm.点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动.运动时间为t秒；

（1）用含有t的代数式表示BQ、CP的长；

（2）写出t的取值范围；

(3)用含有t的代数式 表示Rt△PCQ和四边形APQB的面积；

(4)当P、Q处在什么位置时，四边形PQBA的面积最小，并求这个最小值．

Answer 1

【答案】（1）CP=t，BQ=2t；(2) 0≤t≤4；(3) Rt△PCQ的面积为=t(6t)， 四边形APQB的面积=24t(6t)； (4)CP=3cm,BQ=6cm时面积最小,最小为15cm2.

【解析】试题分析：（1）有时间和速度，根据路程=时间×速度，即可得；

（2）根据题意2AC＜BC，找到P点到达A的时间极为t的最大值，即可得出答案．

（3）由∠C=90°，根据直角三角形的面积求法，可以直接的出Rt△PCQ的面积，有Rt△ABC的面积，两者之差即可得出答案．

（4）根据（3）中的表达式，求其最小值即可．

试题解析：（1）CP=t，BQ=2t，

(2)∵点P从点C处出发以1cm/s向A匀速运动，同时点Q从B点出发以2cm/s向C点匀速移动，

∴Q的速度是P的两倍，

∵2AC<BC，

∴可知P先到达A点，

且t=4.

∵若一个点到达目的停止运动时，另一点也随之停止运动，

∴t的取值范围是：0≤t≤4；

(3)由(1)得BQ=2t，CP=t，且BC=12cm，

∴CQ=122t，

∴Rt△PCQ的面积为12×CQ×CP=12×(122t)×t=t(6t)，

∵Rt△ABC的面积为12×AC×BC=12×4×12=24，

∴四边形APQB的面积=Rt△ABC的面积Rt△PCQ的面积=24t(6t)；

(4)由(3)得四边形APQB的面积为24t(6t)，

变形为t26t+24=(t3)2+15，

根据二次函数的性质可知,当t=3时，取得最小值，解为15.

即CP=3cm,BQ=6cm时面积最小,最小为15cm2.