Question

如图，在平面直角坐标系中，直线y=

1

2

x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第二象限内作正方形ABCD，过点D作DE⊥x轴，垂足为E．
（1）求点A、B的坐标，并求边AB的长；
（2）求点D的坐标；
（3）你能否在x轴上找一点M，使△MDB的周长最小？如果能，请求出M点的坐标；如果不能，说明理由．

Answer 1

分析：（1）小题把x=0和y=0分别代入y=

1

2

x+2，求出y x的值即可；
（2）证△DEA≌△AOB，证出OA=DE，AE=OB，即可求出D的坐标；
（3）先作出D关于X轴的对称点F，连接BF，BF于X轴交点M就是符合条件的点，求出F的坐标，进而求出直线BF，再求出与X轴交点即可．

解答：解：（1）y=

1

2

x+2，
当x=0时，y=2，
当y=0时，x=-4，
由勾股定理得：AB=

22+42

=2

5

，
∴点A的坐标为（-4，0）、B的坐标为（0，2），边AB的长为2

5

；

（2）证明：∵正方形ABCD，X轴⊥Y轴，
∴∠DAB=∠AOB=90°，AD=AB，
∴∠DAE+∠BAO=90°∠BAO+∠ABO=90°，
在△DEA与△AOB中，

∠DAE=∠ABO ∠DEA=∠BOA DA=BA

，
∴△DEA≌△AOB（AAS），
∴OA=DE=4，AE=OB=2，
∴OE=6，
 所以点D的坐标为（-6，4）；

（3）能，过D关于X轴的对称点F，连接BF交x轴于M，则M符合要求，
∵点D（-6，4）关于x轴的对称点F坐标为（-6，-4），
设直线BF的解析式为：y=kx+b，把B F点的坐标代入得：

2=b -4=-6k+b

，
解得：

k=1 b=2

，
∴直线BF的解析式为y=x+2，
当y=0时，x=-2，
∴M的坐标是（-2，0），
答案是：当点M（-2，0）时，使MD+MB的值最小．

点评：本题主要考查了一次函数的性质，能求与X轴 Y轴的交点坐标和理解有关最小值问题是解本题的关键，难点是理解MD+MB的值最小如何求．