题目内容
抛物线交轴于、两点,交轴于点,顶点为.
1.(1)写出抛物线的对称轴及、两点的坐标(用含的代数式表示)
2.(2)连接并以为直径作⊙,当时,请判断⊙是否经过点,并说明理由;
3.(3)在(2)题的条件下,点是抛物线上任意一点,过作直线垂直于对称轴,垂足为. 那么是否存在这样的点,使△与以、、为顶点的三角形相似?若存在,请求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
1.(1)过点C作CH⊥轴,垂足为H
∵在Rt△OAB中,∠OAB=900,∠BOA=300,AB=2 ∴OB=4,OA=
由折叠知,∠COB=300,OC=OA=
∴∠COH=600,OH=,CH=3 ∴C点坐标为(,3)
2.(2)∵抛物线(≠0)经过C(,3)、A(,0)两点
∴ 解得:
∴此抛物线的解析式为:
3.(3)存在. 因为的顶点坐标为(,3)即为点C,MP⊥轴,设垂足为N,PN=,因为∠BOA=300,所以ON= , ∴P(,)
作PQ⊥CD,垂足为Q,ME⊥CD,垂足为E
把代入得:
∴ M(,),E(,)
同理:Q(,),D(,1)
要使四边形CDPM为等腰梯形,只需CE=QD
即,解得:,(舍)
∴ P点坐标为(,)
∴ 存在满足条件的点P,使得四边形CDPM为等腰梯形,此时P点的坐为(,) (12分)
解析:略
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