Question

抛物线交轴于、两点，交轴于点，顶点为.

【小题1】（1）写出抛物线的对称轴及、两点的坐标（用含的代数式表示）
【小题2】（2）连接并以为直径作⊙，当时，请判断⊙是否经过点，并说明理由；
【小题3】（3）在（2）题的条件下，点是抛物线上任意一点，过作直线垂直于对称轴，垂足为. 那么是否存在这样的点，使△与以、、为顶点的三角形相似？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【小题1】（1）过点C作CH⊥轴，垂足为H
∵在Rt△OAB中，∠OAB＝90⁰，∠BOA＝30⁰，AB＝2   ∴OB＝4，OA＝
由折叠知，∠COB＝30⁰，OC＝OA＝
∴∠COH＝60⁰，OH＝，CH＝3   ∴C点坐标为（，3）
【小题2】（2）∵抛物线（≠0）经过C（，3）、A（，0）两点
∴     解得：
∴此抛物线的解析式为：
【小题3】（3）存在. 因为的顶点坐标为（，3）即为点C，MP⊥轴，设垂足为N，PN＝，因为∠BOA＝30⁰，所以ON＝ ， ∴P（，）
作PQ⊥CD，垂足为Q，ME⊥CD，垂足为E
把代入得：
∴ M（，），E（，）
同理：Q（，），D（，1）
要使四边形CDPM为等腰梯形，只需CE＝QD
即，解得：，（舍）
∴ P点坐标为（，）
∴ 存在满足条件的点P，使得四边形CDPM为等腰梯形，此时P点的坐为（，）     （12分）

解析