题目内容

如图，抛物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（0， $数学公式$ ）两点，与x轴交于另一点B．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为M，点P为线段OB上一动点（不与点B重合），点Q在线段MB上移动，且∠MPQ=45°，设线段OP=x，MQ= $数学公式$ y₂，求y₂与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；
（3）在同一平面直角坐标系中，两条直线x=m，x=n分别与抛物线交于点E、G，与（2）中的函数图象交于点F、H．问四边形EFHG能否成为平行四边形？若能，求m、n之间的数量关系；若不能，请说明理由．

解：（1）∵抛物线y₁=ax²-2ax+b经过A（-1，0），C（0， $\text{[math]}$ ）两点；
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ．
∴抛物线的解析式为y₁=- $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ ；

（2）作MN⊥AB，垂足为N．

由y₁=- $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ ，易得M（1，2），N（1，0），A（-1，0），B（3，0）；
∴AB=4，MN=BN=2，MB=2 $\text{[math]}$ ，∠MBN=45°；
根据勾股定理有：BM²-BN²=PM²-PN²，
∴（2 $\text{[math]}$ ）²-2²=PM²-（1-x）²…①；
又∠MPQ=45°=∠MBP，∠PMQ=∠BMP（公共角），
∴△MPQ∽△MBP，
∴PM²=MQ•MB= $\text{[math]}$ y₂•2 $\text{[math]}$ =2y₂…②；
由①②得：y₂= $\text{[math]}$ x²-x+ $\text{[math]}$ ；
∵0≤x＜3，
∴y₂与x的函数关系式为y₂= $\text{[math]}$ x²-x+ $\text{[math]}$ （0≤x＜3）；

（3）四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是：m+n=2（0≤m≤2且m≠1）；
∵点E、G是抛物线y₁=- $\text{[math]}$ x²+x+ $\text{[math]}$ 分别与直线x=m，x=n的交点，

∴点E、G坐标为E（m，- $\text{[math]}$ m²+m+ $\text{[math]}$ ），G（n，- $\text{[math]}$ n²+n+ $\text{[math]}$ ）；
同理，点F、H坐标为F（m， $\text{[math]}$ m²-m+ $\text{[math]}$ ），H（n， $\text{[math]}$ n²-n+ $\text{[math]}$ ）．
∴EF= $\text{[math]}$ m²-m+ $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ m²+m+ $\text{[math]}$ ）=m²-2m+1，GH= $\text{[math]}$ n²-n+ $\text{[math]}$ -（- $\text{[math]}$ n²+n+ $\text{[math]}$ ）=n²-2n+1；
∵四边形EFHG是平行四边形，EF=GH，
∴m²-2m+1=n²-2n+1，
∴（m+n-2）（m-n）=0；
∵由题意知m≠n，
∴m+n=2（m≠1）；
因此四边形EFHG可以为平行四边形，m、n之间的数量关系是m+n=2（0≤m≤2且m≠1）．
分析：（1）将A、C的坐标代入抛物线的解析式中，即可求出y₁的函数解析式；
（2）过M作MN⊥x轴于N，根据抛物线y₁的函数解析式，即可得到M点的坐标，可分别在Rt△MPN和Rt△MBN中，用勾股定理表示出MN的长，由此可得到关于PM、x的函数关系式；由于∠MPQ=∠MBP=45°，易证得△MPQ∽△MBP，根据相似三角形得到的比例线段即可得到关于PM、y₂的关系式，联立两式即可求出y₂、x的函数关系式；
（3）根据两根抛物线的解析式和两条直线的解析式，可求出E、F、G、H四点的坐标，即可得到EF、GH的长，由于EF∥GH，若四边形EFHG是平行四边形，那么必有EF=GH，可据此求出m、n的数量关系．
点评：此题考查了二次函数解析式的确定、勾股定理、相似三角形的判定和性质、平行四边形的判定等知识，综合性强，难度较大．