题目内容
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/59/316d13fc.png)
(1)请直接写出抛物线y2的解析式;
(2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标;
(3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由.
分析:(1)写出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可;
(2)根据抛物线解析式求出点A、B的坐标,然后求出∠OBA=45°,再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标,再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解;
(3)先求出直线OC的解析式为y=
x,设与OC平行的直线y=
x+b,与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程,再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根,然后利用根的判别式△=0列式求出b的值,从而得到直线的解析式,再求出与x轴的交点E的坐标,得到OE的长度,再过点C作CD⊥x轴于D,然后根据∠COD的正弦值求解即可得到h的值.
(2)根据抛物线解析式求出点A、B的坐标,然后求出∠OBA=45°,再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标,再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解;
(3)先求出直线OC的解析式为y=
3 |
2 |
3 |
2 |
解答:解:(1)抛物线y1=x2-1向右平移4个单位的顶点坐标为(4,-1),
所以,抛物线y2的解析式为y2=(x-4)2-1;
(2)x=0时,y=-1,
y=0时,x2-1=0,解得x1=1,x2=-1,
所以,点A(1,0),B(0,-1),
∴∠OBA=45°,
联立
,
解得
,
∴点C的坐标为(2,3),
∵∠CPA=∠OBA,
∴点P在点A的左边时,坐标为(-1,0),
在点A的右边时,坐标为(5,0),
所以,点P的坐标为(-1,0)或(5,0);
(3)存在.
∵点C(2,3),
∴直线OC的解析式为y=
x,
设与OC平行的直线y=
x+b,
联立
,
消掉y得,2x2-19x+30-2b=0,
当△=0,方程有两个相等的实数根时,△QOC中OC边上的高h有最大值,
此时x1=x2=
×(-
)=
,![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/69/dee5067f.png)
此时y=(
-4)2-1=-
,
∴存在第四象限的点Q(
,-
),使得△QOC中OC边上的高h有最大值,
此时△=192-4×2×(30-2b)=0,
解得b=-
,
∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=
x-
,
令y=0,则
x-
=0,解得x=
,
设直线与x轴的交点为E,则E(
,0),
过点C作CD⊥x轴于D,根据勾股定理,OC=
=
,
则sin∠COD=
=
,
解得h最大=
×
=
.
所以,抛物线y2的解析式为y2=(x-4)2-1;
(2)x=0时,y=-1,
y=0时,x2-1=0,解得x1=1,x2=-1,
所以,点A(1,0),B(0,-1),
∴∠OBA=45°,
联立
|
解得
|
∴点C的坐标为(2,3),
∵∠CPA=∠OBA,
∴点P在点A的左边时,坐标为(-1,0),
在点A的右边时,坐标为(5,0),
所以,点P的坐标为(-1,0)或(5,0);
(3)存在.
∵点C(2,3),
∴直线OC的解析式为y=
3 |
2 |
设与OC平行的直线y=
3 |
2 |
联立
|
消掉y得,2x2-19x+30-2b=0,
当△=0,方程有两个相等的实数根时,△QOC中OC边上的高h有最大值,
此时x1=x2=
1 |
2 |
-19 |
2 |
19 |
4 |
![](http://thumb.1010pic.com/pic3/upload/images/201306/69/dee5067f.png)
此时y=(
19 |
4 |
7 |
16 |
∴存在第四象限的点Q(
19 |
4 |
7 |
16 |
此时△=192-4×2×(30-2b)=0,
解得b=-
121 |
16 |
∴过点Q与OC平行的直线解析式为y=
3 |
2 |
121 |
16 |
令y=0,则
3 |
2 |
121 |
16 |
121 |
24 |
设直线与x轴的交点为E,则E(
121 |
24 |
过点C作CD⊥x轴于D,根据勾股定理,OC=
22+32 |
13 |
则sin∠COD=
h |
CO |
3 | ||
|
解得h最大=
3 | ||
|
121 |
24 |
121
| ||
104 |
点评:本题是二次函数综合题型,主要考查了利用平移变换确定二次函数解析式,联立两函数解析式求交点坐标,等腰三角形的判定与性质,(3)判断出与OC平行的直线与抛物线只有一个交点时OC边上的高h最大是解题的关键,也是本题的难点.
![](http://thumb2018.1010pic.com/images/loading.gif)
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