题目内容

【题目】如图,在平面直角坐标系中,点0是坐标原点.边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,点E是对角线AC上一点,连接OE、BE,BE的延长线交OA于点P,若△OCE的面积为12.

(1)求点E的坐标;

(2)求△OPE的周长.

【答案】(1)点E的坐标是(4,2);

(2)△OPE的周长为.

【解析】(1)过点E作EM⊥y轴于点M,根据面积公式EM=4,根据正方形性质求出CM=ME=4,即可求出答案;

(2)根据全等求出BE=OE,求出直线BE的解析式,求出P的坐标,根据勾股定理求出BP,即可求出答案.

解:(1)过点E作EM⊥y轴于点M,

OCEM=12,

×6×EM=12, ∴EM=4,

∵四边形OABC是正方形,∴∠MCE=45°,

∴△MEC是等腰直角三角形, ∴MC=ME=4,

∴MO=6﹣4=2,

∴点E的坐标是(4,2);

(2)设直线BE的解析式为y=kx+b,

把B(6,6)和点E(4,2)的坐标代入函数解析式得:

解得:k=2,b=﹣6,

∴直线BE的解析式为y=2x﹣6,

令2x﹣6=0得:x=3,

∴点P的坐标为(3,0),∴OP=3,

∵四边形ABCO是正方形,

∴OC=CB,∠BCE=∠OCE,

在△OCE和△BCE中,

OC=BC,∠OCE=∠BCE,CE=CE,

∴△OCE≌△BCE(SAS),

∴OE=BE,

在Rt△PBA中,由勾股定理可得:PB==3

∴C△OPE =OE+PE+OP=3+PB=3+3

“点睛”本题考查了正方形的性质,坐标与图形性质,用待定系数法求出一次函数的解析式,勾股定理等知识点,能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.

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