题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,点0是坐标原点.边长为6的正方形OABC的顶点A,C分别在x轴和y轴的正半轴上,点E是对角线AC上一点,连接OE、BE,BE的延长线交OA于点P,若△OCE的面积为12.
(1)求点E的坐标;
(2)求△OPE的周长.
【答案】(1)点E的坐标是(4,2);
(2)△OPE的周长为.
【解析】(1)过点E作EM⊥y轴于点M,根据面积公式EM=4,根据正方形性质求出CM=ME=4,即可求出答案;
(2)根据全等求出BE=OE,求出直线BE的解析式,求出P的坐标,根据勾股定理求出BP,即可求出答案.
解:(1)过点E作EM⊥y轴于点M,
∴OCEM=12,
即×6×EM=12, ∴EM=4,
∵四边形OABC是正方形,∴∠MCE=45°,
∴△MEC是等腰直角三角形, ∴MC=ME=4,
∴MO=6﹣4=2,
∴点E的坐标是(4,2);
(2)设直线BE的解析式为y=kx+b,
把B(6,6)和点E(4,2)的坐标代入函数解析式得: ,
解得:k=2,b=﹣6,
∴直线BE的解析式为y=2x﹣6,
令2x﹣6=0得:x=3,
∴点P的坐标为(3,0),∴OP=3,
∵四边形ABCO是正方形,
∴OC=CB,∠BCE=∠OCE,
在△OCE和△BCE中,
OC=BC,∠OCE=∠BCE,CE=CE,
∴△OCE≌△BCE(SAS),
∴OE=BE,
在Rt△PBA中,由勾股定理可得:PB==3,
∴C△OPE =OE+PE+OP=3+PB=3+3.
“点睛”本题考查了正方形的性质,坐标与图形性质,用待定系数法求出一次函数的解析式,勾股定理等知识点,能综合运用知识点进行计算是解此题的关键.
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