题目内容

【题目】如图1,在RtABC中,∠A=90°,AB=AC,点D,E分别在边AB,AC上,AD=AE,连接DC,点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点.

(1)观察猜想

1中,线段PMPN的数量关系是   ,位置关系是   

(2)探究证明

ADE绕点A逆时针方向旋转到图2的位置,连接MN,BD,CE,判断PMN的形状,并说明理由;

(3)拓展延伸

ADE绕点A在平面内自由旋转,若AD=4,AB=10,请直接写出PMN面积的最大值.

【答案】(1)PM=PN,PMPN,

(2)PMN是等腰直角三角形证明见解析;

(3)SPMN最大=

【解析】试题分析:(1)利用三角形的中位线得出PM=CE,PN=BD,进而判断出BD=CE,即可得出结论,再利用三角形的中位线得出PMCE得出∠DPM=DCA,最后用互余即可得出结论;

(2)先判断出ABD≌△ACE,得出BD=CE,同(1)的方法得出PM=BD,PN=BD,即可得出PM=PN,同(1)的方法即可得出结论;

(3)先判断出MN最大时,PMN的面积最大,进而求出AN,AM,即可得出MN最大=AM+AN,最后用面积公式即可得出结论.

试题解析:(1)∵点P,NBC,CD的中点,

PNBD,PN=BD,

∵点P,MCD,DE的中点,

PMCE,PM=CE,

AB=AC,AD=AE,

BD=CE,

PM=PN,

PNBD,

∴∠DPN=ADC,

PMCE,

∴∠DPM=DCA,

∵∠BAC=90°,

∴∠ADC+ACD=90°,

∴∠MPN=DPM+DPN=DCA+ADC=90°,

PMPN,

故答案为:PM=PN,PMPN,

(2)由旋转知,∠BAD=CAE,

AB=AC,AD=AE,

∴△ABD≌△ACE(SAS),

∴∠ABD=ACE,BD=CE,

同(1)的方法,利用三角形的中位线得,PN=BD,PM=CE,

PM=PN,

∴△PMN是等腰三角形,

同(1)的方法得,PMCE,

∴∠DPM=DCE,

同(1)的方法得,PNBD,

∴∠PNC=DBC,

∵∠DPN=DCB+PNC=DCB+DBC,

∴∠MPN=DPM+DPN=DCE+DCB+DBC

=BCE+DBC=ACB+ACE+DBC

=ACB+ABD+DBC=ACB+ABC,

∵∠BAC=90°,

∴∠ACB+ABC=90°,

∴∠MPN=90°,

∴△PMN是等腰直角三角形,

(3)如图2,同(2)的方法得,PMN是等腰直角三角形,

MN最大时,PMN的面积最大,

DEBCDE在顶点A上面,

MN最大=AM+AN,

连接AM,AN,

ADE中,AD=AE=4,DAE=90°,

AM=2

RtABC中,AB=AC=10,AN=5

MN最大=2+5=7

SPMN最大=PM2=×MN2=×(72=

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