题目内容

【题目】如图,二次函数y=x2+2x+6的图像与x轴相交于A、B两点,与y轴交于点C,顶点为点D,该二次函数图像的对称轴与直线BC相交于点E,与x轴交于点F;

(1)求直线BC的解析式;

(2)试判断BFE与DCE是否相似?并说明理由.

(3)在坐标轴上是否存在这样的点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形与DCE相似?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由。

【答案】(1) y=-x+6.(2) BFE与DCE相似.理由见解析;(3)在坐标轴上存在这样的点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形与DCE相似,P点的坐标为(0,0)、(-6,0)和(0,-6).

【解析】

试题分析:(1)令x=0,可求得C点坐标,令y=0,可求得A、B点坐标,设出直线BC解析式,由待定系数法即可得出结论;

(2)观察两三角形可知,存在一个对顶角,只需再有一个角相等即可,由于DFx轴,在DCE中只要找到一个直角即可,结合边的长度由勾股定理可得出结论;

(3)结合(2)的结论,只要找到以点P、B、C为顶点的三角形与BFE相似即可,分BC为斜边,直角边讨论即可.

试题解析:(1)令x=0,则有y=6,

C点坐标为(0,6);

令y=0,则有-x2+2x+6=0,

解得:x1=-2,x2=6,

A点坐标为(-2,0),B点坐标为(6,0).

设直线BC的解析式为y=kx+b,

则有,解得:

直线BC的解析式为y=-x+6.

(2)假设BFE与DCE相似.

二次函数y=-x2+2x+6=-(x-2)2+8,

D点坐标为(2,8),直线DE解析式为x=2.

直线BC、DE相交于点E,

,解得

即点E坐标为(2,4).

点C(0,6),点D(2,8),

DE=4,CE=,CD=

DE2=CE2+CD2

∴∠DCE=90°

∵∠BFE=90°,且DEC=BEF,

∴△DCE∽△BEF.

(3)假设存在.

由(2)可知DCE∽△BEF,

故只需找到以点P、B、C为顶点的三角形与BEF相似即可.

以BC为斜边,如图1.

此时P点与O点重合,故P点坐标为(0,0);

以BC为直角边,点P在x轴上,如图2.

点C(0,6),点B(6,0),

BO=6,CO=6,

∴∠OBC=OCB=45°,BC=

BP=

P点坐标为(-6,0);

以BC为直角边,点P在y轴上,如图3.

CP=

P点坐标为(0,-6).

综上可知:在坐标轴上存在这样的点P,使得以点P、B、C为顶点的三角形与DCE相似,P点的坐标为(0,0)、(-6,0)和(0,-6).

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