Question

如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，则：
①AD=CD，②BD=AB+CB，③点O是∠ADC平分线上的点，④AB²+BC²=2CD²，
上述结论中正确的编号是________．

Answer 1

①③④
分析：根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=45°，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得=，然后根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，判断出①正确；连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得点O在AC上，根据等腰三角形三线合一的性质可得点O是∠ADC平分线上的点，判断出③正确；再利用勾股定理求出AB²+BC²=2CD²，判断出④正确；点B的位置确定，②BD=AB+CB无法求出．
解答：解：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴=，
∴AD=CD，故①正确；
连接AC，∵∠ABC=90°，
∴点O在AC上，AC为⊙O的直径，
又∵AD=CD，
∴点O是∠ADC平分线上的点，故③正确；
在Rt△ABC中，AB²+BC²=AC²，
在Rt△ACD中，AC²=AD²+CD²=2CD²，
∴AB²+BC²=2CD²，故④正确；
∵点B的位置不确定，
∴BD=AB+CB无法求出，故②错误；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，勾股定理的应用，综合题，但难度不大．