题目内容
（2013•下城区二模）如图，⊙O过四边形ABCD的四个顶点，已知∠ABC=90°，BD平分∠ABC，则：①AD=CD，②
| 3 |
上述结论中正确的编号是
①③④
①③④
．分析：根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD=45°，再根据同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得
=
，然后根据同弧所对的弦相等可得AD=CD，判断出①正确；连接AC，根据直径所对的圆周角是直角可得点O在AC上，根据等腰三角形三线合一的性质可得点O是∠ADC平分线上的点，判断出③正确；再利用勾股定理求出AB2+BC2=2CD2，判断出④正确；点B的位置确定，②
BD=AB+CB无法求出．
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| AD |
|
| CD |
| 3 |
解答：
解：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴
=
，
∴AD=CD，故①正确；
连接AC，∵∠ABC=90°，
∴点O在AC上，AC为⊙O的直径，
又∵AD=CD，
∴点O是∠ADC平分线上的点，故③正确；
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=2CD2，
∴AB2+BC2=2CD2，故④正确；
∵点B的位置不确定，
∴
BD=AB+CB无法求出，故②错误；
综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
解：∵∠ABC=90°，BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠CBD=45°，
∴
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| AD |
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| CD |
∴AD=CD，故①正确；
连接AC，∵∠ABC=90°，
∴点O在AC上，AC为⊙O的直径，
又∵AD=CD，
∴点O是∠ADC平分线上的点，故③正确；
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2，
在Rt△ACD中，AC2=AD2+CD2=2CD2，
∴AB2+BC2=2CD2，故④正确；
∵点B的位置不确定，
∴
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综上所述，正确的结论有①③④．
故答案为：①③④．
点评：本题考查了圆周角定理，角平分线的定义，直径所对的圆周角是直角，在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等，勾股定理的应用，综合题，但难度不大．
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