Question

已知x₁，x₂是关于一元二次方程x²+4x+m-1=0的两个实数根．
（1）求m的取值范围；   
（2）若（x₁-2）（x₂-2）=10，求m的值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据方程有两个实数根得出△≥0，代入求出即可．
（2）先求出x₁+x₂=-4，x₁•x₂=m-1，把（x₁-2）（x₂-2）=10转化成x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=10，代入求出即可．

解答：解：（1）∵x₁，x₂是关于一元二次方程x²+4x+m-1=0的两个实数根，
∴△=4²-4×1×（m-1）=-4m+20≥0，
解得：m≤5，
即m的取值范围是：m≤5．

（2）∵x₁，x₂是关于一元二次方程x²+4x+m-1=0的两个实数根，
∴x₁+x₂=-4，x₁•x₂=m-1，
∵（x₁-2）（x₂-2）=10，
∴x₁•x₂-2（x₁+x₂）+4=10，
∴（m-1）-2×（-4）+4=10，
解得：m=3，
∵m≤5，
∴m=3符合题意，
即m=3．

点评：本题考查了一元二次方程的定义，根与系数的关系，一元二次方程的根的判别式的应用，注意：一元二次方程ax²+bx+c=0，（a、b、c为常数，a≠0），当b²-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根，当b²-4ac=0时，方程有两个相等的实数根，当b²-4ac＜0时，方程没有实数根．