题目内容
【题目】如图
，二次函数
的图象与
轴交于点
，与
轴交于点
，过点作
轴，交抛物线于点
，并过点作
轴，垂足为
．抛物线和反比例函数
的图象都经过点
，四边形
的面积是
．
求反比例函数、二次函数的解析式及抛物线的对称轴；
如图
，点
从点出发以每秒
个单位的速度沿线段
向点运动，点
从
点出发以相同的速度沿线段img src="http://thumb.zyjl.cn/questionBank/Upload/2019/05/12/08/1a8f9afd/SYS201905120854095644903087_ST/SYS201905120854095644903087_ST.023.png" width="24" height="19" style="-aw-left-pos:0pt; -aw-rel-hpos:column; -aw-rel-vpos:paragraph; -aw-top-pos:0pt; -aw-wrap-type:inline" />向
点运动，其中一个动点到达端点时，另一个也随之停止运动．设运动时间为
秒．
①当为何值时，四边形
为等腰梯形；
②设
与对称轴的交点为
，过点作轴的平行线交
于点
，设四边形
的面积为
，求面积关于时间的函数解析式，并指出的取值范围；当为何值时，有最大值或最小值．
【答案】
,
①当
秒时，四边形
为等腰梯形②当
秒时，面积
有最小值
．
【解析】
（1）根据反比例函数的比例系数k的几何意义可求出k，从而可求出点B的坐标，然后运用待定系数法就可求出二次函数的解析式，由此可求出对称轴方程；
（2）①过点P作PE⊥OA，垂足为E，如图2，易证BC∥OA，要使四边形ABPQ为等腰梯形，只需PQ=AB，只需QE=AD=1，由此即可求出t的值；②如图2，易证△MFP≌△MGQ，则有MF=MG，从而可求出S△BPN（用t表示），然后只需求出S四边形ABPQ，并运用割补法就可得到S关于t的函数解析式，然后只需利用该函数的增减性就可解决问题．
如图
，
∵四边形
的面积是
，
∴
，
∴反比例函数的解析式为．
∵反比例函数
的图象经过点
，
∴
，
解得
．
∴
．
将点
，代入
，得
解得：
，
∴二次函数的解析式
．
则抛物线的对称轴为
；
①由题意可知：
．
∵点
，点
的纵坐标相等，
∴
．
过点
作
，垂足为
，如图
．
要使四边形
为等腰梯形，只需
．
即
．
又
，
∴
．
解得，
∴当秒时，四边形为等腰梯形．
②设对称轴与
、
轴的交点分别为
、
，如图．
∵对称轴
是线段的垂直平分线，
∴
．
又∵
，
∴
．
∵
，
∴
．
在
和
中，
∴
，
∴
，
∴
．
∵
，
∴
．
∵
，
，
∴点
运动到点
时停止运动，需要
秒，
∴
．
∵
，
∴当秒时，面积有最小值．
