Question

（2009•雅安）如图，△ABC内接于⊙O，过点B的切线与CA的延长线相交于点E，且∠BEC=90°，点D在OA的延长线上，AO⊥BC，∠ODC=30°．
（1）求证：DC为⊙O的切线．
（2）若CA=6，求DC的长．

Answer 1

分析：（1）连接OC，由半径OA垂直于BC，利用垂径定理得到A为

BC

的中点，可得出两条弧相等，根据等弧对等角可得出∠ABC=∠ACB，又BE为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角可得出∠EBA=∠ACB，等量代换可得出三个角相等，由BE与EC垂直得到∠E为直角，可得出三个角都为30°，再利用同弧所对的圆心角等于所对圆周角的2倍，可得出∠AOC为60°，又∠ADC为30°，在三角形ODC中，利用三角形的内角和定理得到∠OCD为90°，根据垂直的定义得到OC垂直于CD，即可得出此时CD为圆O的切线；
（2）由OA=OC，且∠AOC为60°，得到三角形AOC为等边三角形，根据等边三角形的三边长相等可得出OA=OC=AC，由AC的长得出OC的长，在直角三角形OCD中，利用锐角三角函数定义表示出tan∠ODC，将OC及tan30°的值代入即可求出CD的长．

解答：解：（1）连接OC，如图所示：
∵AO⊥BC，且O为圆心，
∴点A为

BC

的中点，即

AB

=

AC

，
∴∠BCA=∠ABC，
又BE为切线，
∴∠ABE=∠ACB，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC，
∵∠BEC=90°，
∴∠ABE=∠ACB=∠ABC=30°，
∴∠AOC=2∠ABC=60°，又∠ODC=30°，
∴∠OCD=180°-∠AOC-∠ODC=90°，
∴OC⊥CD，
则CD为圆O切线；

（2）∵OA=OC，∠AOC=60°，
∴△AOC为等边三角形，
∴OA=OC=AC=6，
在Rt△OCD中，∠ODC=30°，
∴tan∠ODC=tan30°=

OC

CD

，
则CD=

OC

tan30°

=6

3

．

点评：此题考查了切线的判定与性质，圆周角定理，垂径定理，等边三角形的判定与性质，锐角三角函数定义，以及特殊角的三角函数值，其中证明切线的方法有两种：有点连接证垂直；无点作垂线证垂线段长度等于半径，本题第一问用的是第一种方法．