Question

如图，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止．已知在相同时间内，若BQ=xcm()，则AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．

（1）当x为何值时，以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边构成一个三角形；
（2）当x 为何值时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形；
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形能否为等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，请说明理由．

Answer 1

（1）
（2）当时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形
（3）以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形解析:
解：（1）当点P与点N重合或点Q与点M重合时,以PQ，MN为两边,以矩形的边（AD或BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形.
①当点P与点N重合时,
(舍去).…1分
因为BQ+CM=,此时点Q与点M不重合.
所以符合题意.  ……………………2分
②当点Q与点M重合时,
.
此时,不符合题意.
故点Q与点M不能重合.
所以所求x的值为.……………………3分
(2)由(1)知,点Q 只能在点M的左侧,
①当点P在点N的左侧时,
由,
解得.
当x=2时四边形PQMN是平行四边形.………………5分
②当点P在点N的右侧时,
由, 
解得.
当x=4时四边形NQMP是平行四边形.
所以当时,以P,Q,M,N为顶点的四边形是平行四边形.  …7分
(3)过点Q，M分别作AD的垂线,垂足分别为点E，F.
由于2x>x,
所以点E一定在点P的左侧.
若以P，Q，M，N为顶点的四边形是等腰梯形, 
则点F一定在点N的右侧,且PE="NF,"   …………8分
即.
解得.
由于当x=4时, 以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形,
所以以P，Q，M，N为顶点的四边形不能为等腰梯形.…10分