题目内容
【题目】已知抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点为A，点A与点B关于抛物线的对称轴对称，二次函数y=ax2+bx+3的y与x的部分对应值如下表：
x | … | ﹣1 | 0 | 1 | 3 | 4 | … |
y | … | 8 | 0 | 0 | … |
（1）抛物线的对称轴是 _________ ．点A（ ______， ____），B（ _____， _____）；
（2）求二次函数y=ax2+bx+3的解析式；
（3）已知点M（m，n）在抛物线y=ax2+bx+3上，设△BAM的面积为S，求S与m的函数关系式、画出函数图象．并利用函数图象说明S是否存在最大值，为什么？
【答案】（1）x=2，A（0，3），B（4，3）；
（2）y=x2-4x+3；
（3）S=
，S不存在最大值，从图象可知：当m＜0或m＞4时，S的值可以无限大．
【解析】
试题（1）利用当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是直线x=2，再利用x=0时，y=3，则点A（ 0，3 ），即可得出B点坐标；
（2）根据图象过（1，0），（3，0）则设抛物线为y=a（x-1）（x-3），把（0，3）代入可得出a的值，进而得出解析式；
（3）当0＜m＜4时，点M到AB的距离为3-n，当m＜0或m＞4时，点M到直线AB的距离为n-3，利用三角形面积得出S与m的函数关系式，利用图象得出S是否存在最大值．
试题解析：（1）根据当x=1和3时，y=0，得出抛物线的对称轴是：直线x=2，
∵抛物线y=ax2+bx+3与y轴的交点为A，
∴x=0时，y=3，则点A（0，3），故B（4，3）；
（2）图象过（1，0），（3，0），
设抛物线为y=a（x-1）（x-3），
把（0，3）代入可得：3=a（0-1）（0-3），
解得：a=1，
故二次函数y=ax2+bx+3的解析式为：y=（x-1）（x-3）=x2-4x+3；
（3）如图1，
∵AB∥x轴，AB=4，
当0＜m＜4时，点M到AB的距离为3-n，
∴S△ABM=
（3-n）×4=6-2n，
又∵n=m2-4m+3，S1=-2m2+8m，
∴当m＜0或m＞4时，点M到直线AB的距离为n-3，S2=×4（n-3）=2n-6，
而n=m2-4m+3，S2=2m2-8m，
S=，
故函数图象如图2（x轴上方部分）所示，S不存在最大值，从图象可知：当m＜0或m＞4时，S的值可以无限大．
