Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，CD⊥AB于点D．点P从点D出发，沿线段DC向点C运动，点Q从点C出发，沿线段CA向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止．设运动时间为t秒．

（1）求线段CD的长；

（2）当t为何值时，△CPQ与△ABC相似？

（3）当t为何值时，△CPQ为等腰三角形？

Answer 1

【答案】（1）4．8．（2）3或；（3）2．4秒或秒或秒．

【解析】

试题分析：（1）先根据勾股定理求出AB的长，再由三角形的面积公式即可得出结论；

（2）先用t表示出DP，CQ，CP的长，再分PQ⊥CD与PQ⊥AC两种情况进行讨论；

（3）根据题意画出图形，分CQ=CP，PQ=PC，QC=QP三种情况进行讨论．

试题解析：（1）∵∠ACB=90°，AC=8，BC=6，

∴AB=10．

∵CD⊥AB，

∴S△ABC=BCAC=ABCD．

∴CD=．

∴线段CD的长为4．8．

（2）由题可知有两种情形，

设DP=t，CQ=t．则CP=4．8-t．

①当PQ⊥CD时，如图a

∵△QCP∽△△ABC

∴，即，

∴t=3；

②当PQ⊥AC，如图b．

∵△PCQ∽△ABC

∴，即，解得t=，

∴当t为3或时，△CPQ与△△ABC相似；

（3）①若CQ=CP，如图1，

则t=4．8-t．

解得：t=2．4．

②若PQ=PC，如图2所示．

∵PQ=PC，PH⊥QC，

∴QH=CH=QC=．

∵△CHP∽△BCA．

∴．

∴，解得t=．

③若QC=QP，

过点Q作QE⊥CP，垂足为E，如图3所示．

同理可得：t=．

综上所述：当t为2．4秒或秒或秒时，△CPQ为等腰三角形．