Question

农民张大伯为了致富奔小康，大力发展家庭养殖业．他准备用40m长的木栏围一个矩形的羊圈，为了节约材料同时要使矩形的面积最大，他利用了自家房屋一面长25m的墙，设计了如图一个矩形的羊圈．
（1）请你求出张大伯矩形羊圈的面积；
（2）请你判断他的设计方案是否合理？如果合理，直接答合理；如果不合理又该如何设计并说明理由．

Answer 1

分析：（1）木栏只有三面，总长为40，其中长为25，则宽为

15

2

，易求面积；
（2）设长为x，表示出宽和面积，运用函数的性质求出面积最大时的长和宽，然后回答问题．

解答：解：（1）40-25=15故矩形的宽为

15

2

（1分）
∴s_ABCD=

15

2

×25=187.5（2分）

（2）设利用xm的墙作为矩形羊圈的长，则宽为

40-x

2

m，
设矩形的面积为ym²
则y=x•

40-x

2

=-

1

2

x²+20x=-

1

2

（x-20）²+200，（5分）
∵a=-

1

2

＜0，
故当x=20时，y的最大值为200，（7分）
∵200＞187.5，
故张大伯设计不合理，应设计为长20m，宽10m利用20m墙的矩形羊圈．（8分）

点评：此题的关键在列出函数表达式，然后运用性质求最值，得出最佳方案．通常要考虑自变量的取值范围．