题目内容
【题目】如图，平面直角坐标系xOy中点A的坐标为（﹣1，1），点B的坐标为（3，3），抛物线经过A、O、B三点，连接OA、OB、AB，线段AB交y轴于点E．
（1）求点E的坐标；
（2）求抛物线的函数解析式；
（3）点F为线段OB上的一个动点（不与点O、B重合），直线EF与抛物线交于M、N两点（点N在y轴右侧），连接ON、BN，当四边形ABNO的面积最大时，求点N的坐标并求出四边形ABNO面积的最大值．
【答案】（1）E点坐标为(0,
)；（2）
；（3）四边形ABNO面积的最大值为
，此时N点坐标为(，
)．
【解析】
（1）先利用待定系数法求直线AB的解析式，与y轴的交点即为点E；
（2）利用待定系数法抛物线的函数解析式；
（3）先设N(m，
m2m)(0＜m＜3)，则G（m，m），根据面积和表示四边形ABNO的面积，利用二次函数的最大值可得结论．
（1）设直线AB的解析式为y=mx+n，
把A（-1，1），B（3，3）代入得
，解得
，
所以直线AB的解析式为y＝x+，
当x=0时，y＝×0+＝，
所以E点坐标为(0，)；
（2）设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，
把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得
，解得
，
所以抛物线解析式为y＝x2x；
（3）如图，作NG∥y轴交OB于G，OB的解析式为y=x，
设N(m，m2m)(0＜m＜3)，则G（m，m），
GN＝m(m2m)＝m2+m，
S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，
S△BON＝S△ONG+SBNG＝3(m2+m)＝
m2+
m
所以S四边形ABNO＝S△BON+S△AOB＝m2+m+3＝ (m)2+
当m＝时，四边形ABNO面积的最大值，最大值为，此时N点坐标为(，)．
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