题目内容
【题目】如图所示，将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，得到二次函数y=ax2+bx+c的图象．函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A．函数y=ax2+bx+c的图象的顶点为点C，两函数图象分别交于B、D两点．
（1）求函数y=ax2+bx+c的解析式；
（2）如图2，连接AD、CD、BC、AB，判断四边形ABCD的形状，并说明理由．
（3）如图3，连接BD，点M是y轴上的动点，在平面内是否存在一点N，使以B、D、M、N为顶点的四边形为矩形？若存在，请求出N点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）y=﹣x2+5；（2）四边形ABCD是平行四边形，理由见解析；（3）存在，点N坐标为(
，
)或(，
)或(3，2)或(﹣3，2)．
【解析】
(1)由轴对称和平移的性质可求解；
(2)分别求出点A，点B，点C，点D坐标，由两点距离公式可求AB，CD，AD，BC，AC，BD的长，由两组对边相等的四边形是平行四边形可证四边形ABCD是平行四边形；
(3)分两种情况讨论，利用矩形的性质，可求解．
(1)∵y=x2+2x+1=(x+1)2，且将二次函数y=x2+2x+1的图象沿x轴翻折，然后向右平移1个单位，再向上平移5个单位，
∴y=﹣(x+1﹣1)2+5=﹣x2+5；
(2)四边形ABCD是平行四边形，理由如下：
∵y=﹣x2+5的顶点为点C，
∴点C的坐标为(0，5)．
∵函数y=x2+2x+1的图象的顶点为点A，
∴点A(﹣1，0)，
联立方程组可得：
，
∴ 
或 
，
∴点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)．
∵点D(﹣2，1)，点B(1，4)，点A(﹣1，0)，点C(0，5)，
∴
，
同理可求得：CD=
，AD=
，BC=，AC=
，BD=3，
∴AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形；
(3)存在，
设点N(x，y)
若BD为矩形的边，四边形BDMN是矩形时．
∵点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)，
设直线BD解析式为：
，
∴
，
解得：
，
∴直线BD解析式为：y=x+3，
∵DM⊥BD，
∴设直线DM的解析式为
，
将点D的坐标为(﹣2，1)代入得：
，
解得：
，
∴直线DM的解析式为y=﹣x﹣1，
∴点M的坐标为(0，﹣1)．
∵BM与DN互相平分，
∴
，
，
∴x=3，y=2，
∴点N的坐标为(3，2)；
若BD为矩形的边，四边形BDNM是矩形时．
∵点D的坐标为(﹣2，1)，点B的坐标为(1，4)，直线BD解析式为：y=x+3，
∵BM⊥BD，
∴设直线BM的解析式为
，
将点B的坐标为(1，4)代入得：
，
解得：
，
∴直线BM的解析式为y=﹣x+5，
∴点M的坐标为(0，5)．
∵BN与DM互相平分，
∴
，
，
∴x=﹣3，y=2，
∴点N的坐标为(﹣3，2)；
若BD为对角线．
∵点D、B、N的坐标分别为(﹣2，1)， (1，4)， (x，y)，
点M的横坐标为0，设点M的纵坐标为
，
∵BD与MN互相平分，
∴
，
，
∴
，
，
点N的坐标为(，
)，点M的坐标为(0，5﹣y)，
∵BD=MN，
∴
整理得：
解得：
，
∴点N的坐标为(，)或(，)，
综上所述：点N坐标为(，)或(，)或(3，2)或(﹣3，2)．
