Question

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，连接EF．EF与AD交于G．
（1）试猜想AD与EF的位置关系，并证明你的结论．
（2）如果E、F分别是AB、AC边上的中点，（1）中的结论仍然成立吗？如果不成立请说明理由，如果成立请证明你的结论．

Answer 1

分析：（1）利用角的平分线上的点到角的两边的距离相等，得到△AED≌△AFD，可知AE=AF，根据线段垂直平分线性质得出即可．
（2）根据三角形中位线和平行线的性质得出即可．

解答：（1）AD垂直平分EF，
证明：∵AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中

AD=AD DE=DF

∴Rt△AED≌Rt△AFD，
∴AE=AF，
∵DE=DF，
∴AD是EF的垂直平分线，
∴AD垂直平分EF．

（2）当E、F分别是AB、AC边上的中点，（1）中的结论不成立，
理由是：
∵E、F分别是AB、AC中点，
∴EF∥BC，
而AD平分∠BAC，不一定垂直于BC，
∴EF和AD不垂直，也不平分，
即当E、F分别是AB、AC边上的中点，（1）中的结论不成立．

点评：本题主要考查了角平分线上的一点到两边的距离相等的性质及三角形全等的判定及性质，主要考查学生的推理能力．