Question

如图：在平面直角坐标系中，将长方形纸片ABCD的顶点B与原点O重合，BC边放在x轴的正半轴上，AB=3，AD=6，将纸片沿过点M的直线折叠（点M在边AB上），使点B落在边AD上的E处（若折痕MN与x轴相交时，其交点即为N），过点E作EQ⊥BC于Q，交折痕于点P．
（1）①当点M分别与AB的中点、A点重合时，那么对应的点P分别是点P₁、P₂，则P₁ ________、P₂ ________；②当∠OMN=60°时，对应的点P是点P₃，求P₃的坐标；
（2）若抛物线y=ax²+bx+c，是经过（1）中的点P₁、P₂、P₃，试求a、b、c的值；
（3）在一般情况下，设P点坐标是（x，y），那么y与x之间函数关系式还会与（2）中函数关系相同吗（不考虑x的取值范围）？请你利用有关几何性质（即不再用P₁、P₂、P₃三点）求出y与x之间的关系来给予说明．

Answer 1

解：（1）①当M与AB的中点重合时，B与A重合，即E与A重合，则点P为OA的中点，
∵AB=3，
∴P₁（0，），
当M与A重合时，Q、P与N重合，
此时，AE=AO=3，
∴P₂（3，0）；
故答案为：（0，），（3，0）；

②当∠OMN=60°时，∠MNO=90°-60°=30°，
根据翻折对称性，∠QNE=2∠MNO=2×30°=60°，
在Rt△QNE中，tan∠QNE=，
即=，
解得QN=，
在Rt△PQN中，PQ=QN•tan∠MNO=tan30°=×=1，
连接PO，根据对折的性质，∠PON=∠PEN=90°-60°=30°，
∴∠PON=∠MNO，
∵EQ⊥BC，
∴OQ=QN=，
∴点P₃（，1）；

（2）∵抛物线经过点P₁（0，），P₂（3，0），P₃（，1），
∴，
解得，
故，a、b、c的值分别为a=-，b=0，c=；

（3）相同．
理由如下：如图，连接OP，根据对折的对称性，△PON≌△PEN，
则PE=OP，
∵AB=3，
∴OP+PQ=EQ=AB=3，
∴OQ=x，PQ=y，PO=3-y，
在Rt△OPQ中，根据勾股定理，x²+y²=（3-y）²，
整理，x²+y²=9-6y+y²，
y=-x²+．
分析：（1）①点M为AB的中点时，点B与点A重合，即点E与点A重合，则点P为AO的中点，即可得到点P₁的坐标，点M与点A重合时，点Q、P、N重合，AE=AO=3，从而得到点P₂的坐标；
②根据直角三角形两锐角互余求出∠MNO=30°，根据翻折对称性求出∠QNE=60°，然后解直角三角形求出QN、PQ的长度，再利用直角三角形的两锐角互余求出∠PEN=30°，连接PO，利用翻折对称性求出∠PON=∠PEN=30°，从而得到∠PON=∠MNO，根据等腰三角形三线合一的性质可得OQ=QN，从而得到点P₃的坐标；
（2）利用待定系数法求函数解析式列式求解即可；
（3）连接PO，根据翻折对称性可得PE=PO，然后用点P的坐标表示出PO，在Rt△POQ中，根据勾股定理列式整理即可得解．
点评：本题是二次函数的综合题型，主要考查了折叠的性质，解直角三角形，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理，难度不是很大，（1）中利用角度的相等求出相等的角，是利用等腰三角形三线合一的性质求解的关键，也是解题的突破点．