题目内容
【题目】现阅读下面的材料，然后解答问题：
截长补短法，是初中数学几何题中一种常见辅助线的做法．在证明线段的和、差、倍、分等问题中有着广泛的应用．截长法：在较长的线段上截一条线段等于较短线段，而后再证明剩余的线段与另一段线段相等．补短法：就是延长较短线段与较长线段相等，而后证延长的部分等于另一条线段．
请用截长法解决问题（1）
（1）已知：如图1等腰直角三角形
中，
，
是角平分线，交
边于点
．求证：
．
请用补短法解决问题（2）
（2）如图2，已知，如图2，在
中，
，是的角平分线．求证：．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析．
【解析】
（1）根据截长法，在
上截取
，连接
，通过题目条件可证
，进而证得
是等腰直角三角形，等量代换即可得；
（2）根据补短法，延长
到
，使
，连接
，根据已知条件可证
，进而可证
，等量代换即可得证．
（1）证明：如图1，在上截取，连接，
∵
是角平分线，
∴
在
和
中
∴
∴
，
又∵
是等腰直角三角形，
∴
，∴是等腰直角三角形，
∴
，
∴
．
（2）如图2，延长到，使，连接，
∵是的角平分线，
∴
在
和
中
∴，
∴
∵
，
，
∴
，
∴，
∴
．
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