Question

已知：如图，AC=BC，∠ACB=90°，点B的坐标为（1，0），抛物线过A、B、C三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积；
（3）在x轴上方y轴左侧的抛物线上是否存在一点M，过M作MG⊥x轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由题意知：△ABC是等腰直角三角形，那么OA=OB=OC=1，由此可得A、B、C三点坐标，进而可利用待定系数法求得抛物线的解析式．
（2）由于AP∥BC，则∠PAB=45°，若设点P的横坐标为a，那么点P的纵坐标应为a+1，由于点P位于抛物线的图象上，将点P代入抛物线的解析式中，即可确定点P的坐标；易知AB的长，可分别求出△ABP和△ABC的面积，它们的面积和即为四边形ACBP的面积．
（3）根据A、C、P三点坐标，可求出AC、AP的长，由于∠CAP=∠MGA=90°，若以A、M、G三点为顶点的三角形与△PCA相似，那么它们的对应直角边对应成比例，可设出点M的横坐标，然后表示出AG、MG的长，进而可根据①△AMG∽△CPA，②△AMG∽△PCG，两种情况下所得不同的比例线段，求出不同的点M的坐标．

解答：解：（1）∵AC=BC，∠ACB=90°，∴△ACB为等腰直角三角形；
∵点B（1，0），∴点C（0，-1），点A（-1，0），（1分）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，（1分）
∵

a+b+c=0 a-b+c=0 c=-1

，∴

a=1 b=0 c=-1

；
∴抛物线的解析式为y=x²-1．（1分）

（2）∵OA=OB=OC=1，∴∠BAC=∠ACO=∠BCO=45°，
∵AP∥CB，∴∠PAB=45°；（1分）
过点P作PE⊥x轴于点E，则△APE为等腰直角三角形；
令OE=a，则PE=a+1，
∴P（a，a+1）；（1分）
∵点P在抛物线y=x²-1上，
∴a+1=a²-1，解得a₁=2，a₂=-1（不合题意，舍去），
∴PE=3；（1分）
∴四边形ACBP的面积S=

1

2

AB•OC+

1

2

AB•PE=

1

2

×2×1+

1

2

×2×3=4．（1分）

（3）假设存在符合条件的M点．
∵∠PAB=∠BAC=45°
∴PA⊥AC，
∵MG⊥x轴于点G，
∴∠MGA=∠PAC=90°，
在Rt△AOC中，OA=OC=1，
∴AC=

2

，（1分）
在Rt△PAE中，AE=PE=3，
∴AP=3

2

，（1分）
设M点的横坐标为m，则M（m，m²-1），
∵点M在x轴上方y轴左侧，∴m＜-1；
（1）当△AMG∽△PCA时，有

AG

PA

=

MG

CA

，
∵AG=-m-1，MG=m²-1，即

-m-1

3 2

=

m2-1

2

，
解得m₁=-1（舍去），m2=

2

3

（舍去）；（1分）
（ii）当△MAG∽△PCA时，有

MG

PA

=

AG

CA

，
即

-m-1

2

=

m2-1

3 2

，
解得m₁=-1（舍去），m₂=-2；（1分）
综上可知，存在点M（-2，3），使△AMG与△PCA相似．（1分）

点评：此题是二次函数的综合题，涉及到二次函数解析式的确定、等腰直角三角形的性质、函数图象上点的坐标意义、相似三角形的判定和性质等重要知识；要注意的是（3）题中，一定要根据相似三角形的不同对应顶点来分类讨论，以免漏解．