题目内容
【题目】如图1，抛物线
：
与直线l：
交于x轴上的一点A，和另一点
求抛物线的解析式；
点P是抛物线上的一个动点
点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点
于点M，
轴交AB于点N，求MN的最大值；
如图2，将抛物线绕顶点旋转
后，再作适当平移得到抛物线
，已知抛物线的顶点E在第一象限的抛物线上，且抛持线与抛物线交于点D，过点D作
轴交抛物线于点F，过点E作
轴交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）
；（2）
；（3）
点的横坐标为
时，四边形DFEG为菱形
【解析】
求直线l与x轴交点A坐标、B坐标，用待定系数法求抛物线
的解析式．
延长PN交x轴于点H，设点P横坐标为m，由
轴可得点N、H横坐标也为m，即能用m表示PN、NH、AH的长．由
及对顶角
可得
发现在
中，MN与PN比值即为
，故先在
中求
的值，再代入
，即得到MN与m的函数关系式，配方即求得MN最大值．
设点
，所以可设抛物线
顶点式为
令两抛物线解析式
列得关于x的方程，解得两抛物线的另一交点D即为抛物线的顶点，故DG
，且求得DF平行且等于GE，即四边形DFEG首先一定是平行四边形．由DFEG为菱形可得
，故此时
为等边三角形．利用特殊三角函数值作为等量关系列方程，即求得e的值．
解：直线l：
交x轴于点A，
，解得：
，
，
点
在直线l上，
，
，
抛物线：
经过点A、B，
，
解得：
，
抛物线的解析式为，
如图1，延长PN交x轴于点H，
，
设
，
轴，
，
，
，
，
，
中，
，
，
于点M，
，
，
，
中，
，
，
的最大值为，
存在满足条件的抛物线，使得四边形DFEG为菱形，
如图2，连接DE，过点E作
于点Q，
，
抛物线顶点为
，
设
，
抛物线顶点式为
，
当
，
解得：
，
，
两抛物线另一交点
为抛物线顶点，
轴，
轴，
，
，
四边形DFEG是平行四边形，
若DFEG为菱形，则
，
由抛物线对称性可得：
，
，
是等边三角形，
，
，
解得：
舍去
，
，
点的横坐标为时，四边形DFEG为菱形．
