Question

【题目】已知四边形ABCD是菱形，AB=4，∠ABC=60°，∠EAF的两边分别与射线CB，DC相交于点E，F，且∠EAF=60°．

（1）如图1，当点E是线段CB的中点时，直接写出线段AE，EF，AF之间的数量关系为： ；

（2）如图2，当点E是线段CB上任意一点时（点E不与B、C重合），求证：BE=CF；

（3）求△AEF周长的最小值。

(4) 如图3，当点E在线段CB的延长线上，且∠EAB=15°时，求点F到BC的距离．

Answer 1

【答案】（1）AE=EF=AF； (2) 见解析；（3）6 ；（4）3－ .

【解析】

（1）如下图1，连接AC，由已知条件易得∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF=60°，由此可得△BAE≌△CAF，从而可得AE=AF，这样结合∠EAF=60°可得△AEF是等边三角形，由此即可得到AE=AF=EF；

（2）如下图2，连接AC，同（1）可得△ABE≌△ACF，即可得到BE=CF；

（3）由（1）可知△AEF是等边三角形，由此可知当AE⊥BC时，AE最小，△AEF的周长最小，由已知条件求出此时AE的值，即可得到△AEF周长的最小值；

（4）如下图3，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，这样结合AB=4，∠ABC=60°，在Rt△ABG中易得BG=2，AG=，由∠BAE=15°可得∠AEB=45°从而可得EG=AG=，由此可得BE=；再由已知条件证得△ABE≌△ACF，即可得到CF=BE=，这样在Rt△CFH中求得FH的长即可得到点F到BC的距离.

（1）如下图1，连接AC，

∵在菱形ABCD中，∠ABC=60°，

∴∠BAD=∠BCD=120°，

∴∠BAC=∠DAC=∠BCA=∠DCA=60°，

∴△ABC和△ADC都是等边三角形，

∴AB=AC，∠ABE=∠ACF，

∵∠EAF=60°=∠BAC，

∴∠BAC-∠EAC=∠EAF-∠EAC，即∠BAE=∠CAF，

∴△BAE≌△CAF，

∴AE=AF，

又∵∠EAF=60°，

∴△AEF是等边三角形，

∴AE=EF=AF；

（2）证明：如下图2，连接AC，同（1）可得△BAE≌△CAF，

∴BE=CF；

（3）由（1）可知：△AEF是等边三角形，

∴当AE最短时，△AEF的周长最小，

即当AE⊥BC时，△AEF的周长最小，

∵AE⊥BC，

∴∠AEB=90°，

∵∠ABC=60°，

∴∠BAE=30°，

∴BE=AB=2，

∴AE=，

∴△AEF的最小周长=；

（4）如下图3，过点A作AG⊥BC于点G，过点F作FH⊥EC于点H，

∵∠EAB=15°，∠ABC=60°，

∴∠AEB=45°，

在Rt△AGB中，∵∠ABC=60°，AB=4，

∴BG=2，AG=2，

在Rt△AEG中，∵∠AEG=∠EAG=45°，

∴AG=GE=2，

∴EB=EG﹣BG=2﹣2，

∵△AEB≌△AFC，

∴∠ABE=∠ACF=120°，EB=CF=2﹣2，

∴∠FCE=60°，

在Rt△CHF中，∵∠CFH=30°，CF=2-2，

∴CH= - 1．

∴FH=（ - 1）=3﹣．

∴点F到BC的距离为．