Question

如图所示，AB=2

5

，tan∠ABC=2，cos∠ACB=

3

5

．
①求过A、B、C三点的二次函数解析式；
②若D是AB的中点，试判断点D在这条二次函数的图象上吗？并说明理由；
③若y随x的增大而减小，求x的取值范围．

Answer 1

分析：①根据∠ABC的正切值，可得到OA、OB的比例关系，用未知数表示出OA、OB的长，进而可在Rt△OAB中，利用勾股定理求出OA、OB的值，从而得到A、B的坐标；同理可在Rt△OAC中求出C点的坐标，进而可利用待定系数法求得该抛物线的解析式．
②根据A、B的坐标，易得D点的坐标，将其代入抛物线的解析式中进行验证即可．
③求二次函数的增减性，可从两方面考虑：1、抛物线的开口方向，2、抛物线的对称轴方程．
结合本题，将二次函数解析式化为顶点坐标式，即可得抛物线的对称轴方程，由于此抛物线的开口向下，因此在对称轴右侧的函数图象，y随x的增大而减小．

解答：解：①设OB=x，则OA=2OB=2x；
Rt△OAB中，由勾股定理得：OA²+OB²=AB²，
即x²+4x²=20，解得x=2；
∴OB=2，OA=4，同理可得OC=3；
故：A（0，4），B（-2，0），C（3，0），
∴y=-

2

3

x2+

2

3

x+4．

②∵D是AB的中点，
∴D（-1，2）；
∵2≠-

2

3

×(-1)2+

2

3

×(-1)+4，
∴点D一在这条二次函数的图象上．

③∵y=-

2

3

(x-

1

2

)2+

25

6

，a=-

2

3

＜0开口向下，
∴当x＞

1

2

时，y随x的增大而减小．

点评：此题主要考查了解直角三角形、二次函数解析式的确定、二次函数的增减性等知识，属于基础题，需要熟练掌握．