题目内容
点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线
于点A，连接OA．（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；
（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设△AOP的面积是S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1______S2（选填“＞”、“＜”、“=”）；
（3）如图丙，AO的延长线与双曲线
的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一个常数．
【答案】分析：（1）本题还可依据比例系数k的几何意义，得出两个三角形的面积都等于
|k|=
，因而当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小不变；
（2）根据（1）可以得到△BDO的面积，因而S1＞S2．
解答：解：（1）Rt△AOP的面积不变，总等于
；
（2）根据△AOP的面积等于S1，△BOD的面积大于S2，S1＞S2；
（3）设A的坐标是（a，b），根据反比例函数是中心对称图形，因而F点的坐标是（-a，-b），则AP=b，HP=2a，则四边形APFH的面积是2ab，据（a，b）在双曲线
的图象上，因而ab=1，则四边形APFH的面积是2ab=2．
点评：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=
|k|．
|k|=，因而当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小不变；（2）根据（1）可以得到△BDO的面积，因而S1＞S2．
解答：解：（1）Rt△AOP的面积不变，总等于
；（2）根据△AOP的面积等于S1，△BOD的面积大于S2，S1＞S2；
（3）设A的坐标是（a，b），根据反比例函数是中心对称图形，因而F点的坐标是（-a，-b），则AP=b，HP=2a，则四边形APFH的面积是2ab，据（a，b）在双曲线
的图象上，因而ab=1，则四边形APFH的面积是2ab=2．点评：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=
|k|． 
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