题目内容

点P是x轴正半轴的一个动点，过点P作x轴的垂线PA交双曲线于点A，连接OA．
（1）如图甲，当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小是否变化？若不变，请求出Rt△AOP的面积；若改变，试说明理由；
（2）如图乙，在x轴上的点P的右侧有一点D，过点D作x轴的垂线交双曲线于点B，连接BO交AP于点C，设△AOP的面积是S1，梯形BCPD的面积为S2，则S1与S2的大小关系是S1______S2（选填“＞”、“＜”、“=”）；
（3）如图丙，AO的延长线与双曲线的另一个交点为F，FH垂直于x轴，垂足为点H，连接AH，PF，试证明四边形APFH的面积为一个常数．

【答案】分析：（1）本题还可依据比例系数k的几何意义，得出两个三角形的面积都等于|k|=，因而当点P在x轴的正方向上运动时，Rt△AOP的面积大小不变；
（2）根据（1）可以得到△BDO的面积，因而S1＞S2．
解答：解：（1）Rt△AOP的面积不变，总等于；

（2）根据△AOP的面积等于S1，△BOD的面积大于S2，S1＞S2；

（3）设A的坐标是（a，b），根据反比例函数是中心对称图形，因而F点的坐标是（-a，-b），则AP=b，HP=2a，则四边形APFH的面积是2ab，据（a，b）在双曲线的图象上，因而ab=1，则四边形APFH的面积是2ab=2．
点评：本题考查函数图象交点坐标的求法及反比例函数的比例系数k与其图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系，即S=|k|．
练习册系列答案
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如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y=
kx
(x＞0)的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S1、S2．且S1+S2=2，求k的值．
（2）若OA=2，OC=4，当四边形AOFE的面积最大时，求点E、F的坐标．
（2013•湖州一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点叫做整点．已知点A（0，3），点B是x轴正半轴上的整点，记
△AOB内部（不包括边界）的整点个数为m．当点B的横坐标为3n（n为正整数）时，m=
3n-2
3n-2
（用含n的代数式表示）．
（2012•梓潼县一模）如图，在直角坐标系中，点A是x轴正半轴上的一个定点，点B是双曲线y=
3
x
（x＞0）上的一个动点，当点B的横坐标逐渐增大时，△OAB的面积将会（　　）
（2013•南通一模）已知：如图，直y=2x+b交x轴于点B，交y轴于点C，点A为x轴正半轴上一点，AO=CO，△ABC的面积为12．
（1）求b的值；
（2）若点P是线段AB中垂线上的点，是否存在这样的点P，使△PBC成为直角三角形？若存在，试直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，试说明理由；
（3）点Q为线段AB上一个动点（点Q与点A、B不重合），QE∥AC，交BC于点E，以QE为边，在点B的异侧作正方形QEFG．设AQ=m，△ABC与正方形QEFG的重叠部分的面积为S，试求S与m之间的函数关系式，并写出m的取值范围．
（2008•西城区一模）已知抛物线C1：y=ax2-2amx+am2+2m+1（a＞0，m＞1）的顶点为A，抛物线C2的对称轴是y轴，顶点为点B，且抛物线C1和C2关于P（1，3）成中心对称．
（1）用m的代数式表示抛物线C1的顶点坐标；
（2）求m的值和抛物线C2的解析式（含有字母a）；
（3）设抛物线C2与x轴正半轴的交点是C，当△ABC为等腰三角形时，求a的值．

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