Question

如图，将一矩形OABC放在直角坐标系中，O为坐标原点．点A在y轴正半轴上．点E是边AB上的一个动点（不与点A、B重合），过点E的反比例函数y=

k

x

(x＞0)的图象与边BC交于点F．
（1）若△OAE、△OCF的而积分别为S₁、S₂．且S₁+S₂=2，求k的值．
（2）若OA=2，OC=4，当四边形AOFE的面积最大时，求点E、F的坐标．

Answer 1

分析：（1）点E、F反比例函数y=

k

x

（k＞0）图象上的点，S_△OAE=S_△OCF=

k

2

，再由S₁+S₂=2即可求出k的值；
（2）四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，可设E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），再由S_{四边形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF即可得出关于k的一元二次方程，由二次函数的顶点坐标可得出当k=4时，四边形AOFE的面积最大，故可得出E、F两点的坐标．

解答：解：（1）∵点E、F反比例函数y=

k

x

（k＞0）图象上的点，
∴S_△OAE=S_△OCF=

k

2

，
∴S₁+S₂=

k

2

+

k

2

=2，解得，k=2；
（2）∵四边形OABC为矩形，OA=2，OC=4，
∴设E（

k

2

，2），F（4，

k

4

），
∴BE=4-

k

2

，BF=2-

k

4

，
∴S_△BEF=

1

2

（4-

k

2

）（2-

k

4

）=

1

16

k²-k+4，
∵S_△OAE=S_△OCF=

1

2

×4×

k

4

=

k

2

，S_矩形OABC=2×4=8，
∴S_{四边形AOFE}=S_矩形OABC-S_△BEF-S_△OCF=8-（

1

16

k²-k+4）-

k

2

=-

1

16

k²+

1

2

k+4，
=-

1

16

（k-4）²+5
∵a＜0，
∴开口向下，S四边形AOFE有最大值
∴当k=4时，四边形AOFE的面积最大，
∴AE=

k

2

=2，CF=

k

4

=1．
∴E（2，2），F（4，1）．

点评：本题考查的是反比例函数综合题，根据题意用k表示出E、F两点的坐标，再根据三角形的面积公式求解是解答此题的关键．