题目内容
【题目】一个形如
的五位自然数（其中a表示该数的万位上的数字，b表示该数的千位上的数字，c表示该数的百位上的数字，d表示该数的十位上的数字，e表示该数的个位上的数字，且
），若有
且
，则把该自然数叫做“对称数”，例如在自然数12321中，3=2+1，则12321是一个“对称数”. 同时规定：若该“对称数”的前两位数与后两位数的平方差被693的奇数倍，则称该“对称数”为“智慧对称数”.如在“对称数”43734中，
，则43734是一个“智慧对称数”．
（1）将一个“对称数”的个位上与十位上的数字交换位置，同时，将千位上与万位上的数字交换位置，称交换前后的这两个“对称数”为一组“相关对称数”。例如：12321与21312为一组“相关对称数”， 求证：任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；
（2）求出所有的“智慧对称数”中的最大“智慧对称数”．
【答案】（1）见解析；（2）最大的“智慧对称数”为81918.
【解析】（1）根据新定义表示一组“相关对称数”，相加变形后可得结论；
（2）根据“智慧对称数”表示这两个数：10a+b和10b+a，作平方差列式：（10a+b）2-（10b+a）2=99(a2-b2)，且a2-b2被7的奇数倍整除，进行分类讨论即可确定结论．
详（1）证明：∵“对称数”：
，
“相关对称数”：
，
∴+=（10000a+1000b+100c+10d+e）+（10000b+1000a+100c+10e+d），
=11000a+11000b+200c+11e+11d，
∵c=a+b，
∴200c=200a+200b，
∵a=e，b=d，
∴+=11211a+11211b，
∴最小“对称数”是11211，
∴（+）÷11211=a+b，
∵a、b都是正整数，
∴+能被11211整除，
∴任意的一组“相关对称数”之和是最小“对称数”的倍数；
（2）由（1）知五位“对称数”形式为
. 若此“对称数”为“智慧对称数”，
（10a+b）2-（10b+a）2=99(a2-b2)，且a2-b2被7的奇数倍整除.
∵1≤a≤9，1≤b≤9
∴-80≤a2-b2≤80，
∴a2-b2=±7，±21，±35，±42，±49，±63，±77，
当a2-b2=7时，a=4，b=3，c=7，
当a2-b2=-7时，a=3，b=4，c=7，
当a2-b2=21时，a=5，b=2，c=7；
当a2-b2=-21时，a=2，b=5，c=7；
当a2-b2=35时，a=6，b=1，c=7；
当a2-b2=-35时，a=1，b=6，c=7；
当a2-b2=49时，不符合题意；当a2-b2=-49时，不符合题意.
当a2-b2=63时，a=8，b=1，c=9；当a2-b2=-63时，a=1，b=8，c=9;
当a2-b2=77时，不符合题意；当a2-b2=-77，不符合题意.
∴所有的“智慧对称数”为：43734,34743,52725,61716,16761,81918,18981.
∴最大的“智慧对称数”为81918.
【题目】佳乐家超市元旦期间搞促销活动，活动方案如下表：
一次性购物 | 优惠方案 |
不超过200元 | 不给予优惠 |
超过200元，而不超过1000元 | 优惠10% |
超过1000元 | 其中1000元按8.5折优惠，超过部分按7折优惠 |
小颖在促销活动期间两次购物分别支付了134元和913元.
（1）小颖两次购买的物品如果不打折，应支付多少钱？
（2）在此活动中，他节省了多少钱？
