题目内容
【题目】如图，在平面直角坐标系
中有矩形
，
，将矩形绕原点
逆时针旋转得到矩形OA′B′C′.
(Ⅰ)如图1，当点A′首次落在
上时，求旋转角；
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求点B′的坐标；
(Ⅲ)如图2，当点B′首次落在
轴上时，直接写出此时点A′的坐标.
【答案】(Ⅰ)旋转角为
；(Ⅱ)B′的坐标为
；(Ⅲ)点A′的坐标为
【解析】
(Ⅰ)过点
作
，垂足为
，由旋转的性质及A、C坐标可得OA=OA′=4，A′D=A′B′=OC=2，由A′D=
OA′可得
，即可得答案；(Ⅱ)过点
作B′E⊥BC，垂足为
，根据矩形的性质可得
，可得
，即可求出A′C、A′E、B′E的长，进而可得B′点坐标；(Ⅲ)过点作
轴，垂足为
，可证明
，利用勾股定理可求出OB′的长，根据相似三角形的性质可求出OF的长，进而可得A′F的长，即可得点A′坐标.
(Ⅰ)如图
，过点作，垂足为，
∵
，
∴
.
在
中，
，
∴，即旋转角为
.
(Ⅱ)如图
，过点作
，垂足为，
∵
∴.
∴
.
∴
.
∴的坐标为
.
(Ⅲ)如图
，过点作轴，垂足为，
∵A′B′=2，A′O=4，
∴B′O=
=
，
∵
，∠A′OB′=∠A′OB′，
∴
.
∴
.
∴
.
∴
.
∴点的坐标为
.
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