题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中有矩形
,
,将矩形
绕原点
逆时针旋转得到矩形OA′B′C′.
(Ⅰ)如图1,当点A′首次落在上时,求旋转角;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下求点B′的坐标;
(Ⅲ)如图2,当点B′首次落在轴上时,直接写出此时点A′的坐标.
【答案】(Ⅰ)旋转角为;(Ⅱ)B′的坐标为
;(Ⅲ)点A′的坐标为
【解析】
(Ⅰ)过点作
,垂足为
,由旋转的性质及A、C坐标可得OA=OA′=4,A′D=A′B′=OC=2,由A′D=
OA′可得
,即可得答案;(Ⅱ)过点
作B′E⊥BC,垂足为
,根据矩形的性质可得
,可得
,即可求出A′C、A′E、B′E的长,进而可得B′点坐标;(Ⅲ)过点
作
轴,垂足为
,可证明
,利用勾股定理可求出OB′的长,根据相似三角形的性质可求出OF的长,进而可得A′F的长,即可得点A′坐标.
(Ⅰ)如图,过点
作
,垂足为
,
∵,
∴.
在中,
,
∴,即旋转角为
.
(Ⅱ)如图,过点
作
,垂足为
,
∵
∴.
∴.
∴.
∴的坐标为
.
(Ⅲ)如图,过点
作
轴,垂足为
,
∵A′B′=2,A′O=4,
∴B′O==
,
∵,∠A′OB′=∠A′OB′,
∴.
∴.
∴.
∴.
∴点的坐标为
.

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