Question

如图1，平面直角坐标系上有一透明片，透明片上有一抛物线是一点P（2，4），且抛物线为二次函数y=（x-a）2+

a

2

的图形，当a取不同的值时，其图象构成一个“抛物线系”，它们的顶点在一条直线l上，如图2分别是当a=-1，a=0，a=1，a=2时二次函数的图象．
（1）直线l的解析式是y=

 

；
（2）将此透明片上的抛物线顶点沿直线l平移后，得抛物线的顶点坐标为（6，3），若平移后的点P记为P₁，则此时P₁的坐标为

 

；
（3）将此透明片上的抛物线顶点沿直线l平移线段OP长时，求此时的二次函数的解析式．

Answer 1

分析：（1）先把a=0和a=1代入y=（x-a）2+

a

2

得到两个顶点坐标，然后利用待定系数法求出直线l的解析式为y=

1

2

x；
（2）先通过顶点（0，0）平移到（6，3）得到平移的方向和平移的单位，然后把点（2，4）按同样的方法进行平移即可得到P₁的坐标；
（3）先利用两点的距离公式计算出OP=2

5

，再确定直线l上到原点的距离为2

5

的点，然后利用顶点式写出对应的抛物线解析式即可．

解答：解：（1）当a=0时，y=x²，顶点坐标为（0，0），
当a=1时，y=（x-1）²+

1

2

，顶点坐标为（1，

1

2

），
设直线l的解析式为y=kx，
把点（1，

1

2

）代入得k=

1

2

，
所以直线l的解析式为y=

1

2

x；
（2）因为点P（2，4）在抛物线y=x²上，顶点为（6，3）的抛物线解析式为y=（x-6）²+3，
而抛物线y=x²向上平移3个单位，向右平移6个单位得到y=（x-6）²+3，
所以点P（2，4）向上平移3个单位，向右平移6个单位得到P₁的坐标为（8，7）；
故答案为

1

2

x，（8，7）；
（3）OP=

22+42

=2

5

，
设平移后点的坐标为（t，

1

2

t），
所以t²+（

1

2

t）²=（2

5

）²，解得t=±4，
则平移后点的坐标为（4，2）或（-4，-2），
所以此时的二次函数的解析式为y=（x-4）²+2或y=（x+4）²-2．

点评：本题考查了二次函数与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式．