题目内容
【题目】如图,在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点(点A在点B的左侧),与y轴交于点C,点A的坐标为(﹣1,0),且OC=OB,tan∠ACO=.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D和点C关于抛物线的对称轴对称,直线AD下方的抛物线上有一点P,过点P作PH⊥AD于点H,作PM平行于y轴交直线AD于点M,交x轴于点E,求△PHM的周长的最大值;
(3)在(2)的条件下,以点E为端点,在直线EP的右侧作一条射线与抛物线交于点N,使得∠NEP为锐角,在线段EB上是否存在点G,使得以E,N,G为顶点的三角形与△AOC相似?如果存在,请求出点G的坐标;如果不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4.(2)当a=1时,PM有最大值,最大值为4.(3)存在,点G的坐标为(,0)或(,0).
【解析】
试题分析:(1)先由锐角三角函数的定义求得C的坐标,从而得到点B的坐标,设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4),将点C的坐标代入求解即可;
(2)先求得抛物线的对称轴,从而得到点D(3,﹣4),然后可求得直线AD的解析式y=﹣x﹣1,故∠BAD=45°,接下来证明△PMD为等腰直角三角形,所当PM有最大值时三角形的周长最大,设P(a,a2﹣3a﹣4),M(﹣a﹣1),则PM=﹣a2+2a+3,然后利用配方可求得PM的最大值,最后根据△MPH的周长=(1+)PM求解即可;
(3)当∠EGN=90°时,如果或,则△AOC∽△EGN,设点G的坐标为(a,0),则N(a,a2﹣3a﹣4),则EG=a﹣1,NG=﹣a2+3a+4,然后根据题意列方程求解即可.
解:(1)∵点A的坐标为(﹣1,0),
∴OA=1.
又∵tan∠ACO=,
∴OC=4.
∴C(0,﹣4).
∵OC=OB,
∴OB=4
∴B(4,0).
设抛物线的解析式为y=a(x+1)(x﹣4).
∵将x=0,y=﹣4代入得:﹣4a=﹣4,解得a=1,
∴抛物线的解析式为y=x2﹣3x﹣4.
(2)∵抛物线的对称轴为x=﹣=,C(0,﹣4),点D和点C关于抛物线的对称轴对称,
∴D(3,﹣4).
设直线AD的解析式为y=kx+b.
∵将A(﹣1,0)、D(3,﹣4)代入得:,解得k=﹣1,b=﹣1,
∴直线AD的解析式y=﹣x﹣1.
∵直线AD的一次项系数k=﹣1,
∴∠BAD=45°.
∵PM平行于y轴,
∴∠AEP=90°.
∴∠PMH=∠AME=45°.
∴△MPH的周长=PM+MH+PH=PM+MP+PM=(1+)PM.
设P(a,a2﹣3a﹣4),M(﹣a﹣1),则PM=﹣a﹣1﹣(a2﹣3a﹣4)=﹣a2+2a+3,
∵PM=﹣a2+2a+3=﹣(a﹣1)2+4,
∴当a=1时,PM有最大值,最大值为4.
∴△MPH的周长的最大值=4×(1+)=4+4.
(3)如图1所示;当∠EGN=90°.
设点G的坐标为(a,0),则N(a,a2﹣3a﹣4).
∵∠EGN=∠AOC=90°,
∴时,△AOC∽△EGN.
∴=,整理得:a2+a﹣8=0.
解得:a=(负值已舍去).
∴点G的坐标为(,0).
如图2所示:当∠EGN=90°.
设点G的坐标为(a,0),则N(a,a2﹣3a﹣4).
∵∠EGN=∠AOC=90°,
∴时,△AOC∽△NGE.
∴=4,整理得:4a2﹣11a﹣17=0.
解得:a=(负值已舍去).
∴点G的坐标为(,0).
∵EN在EP的右面,
∴∠NEG<90°.
如图3所示:当∠ENG′=90°时,
EG′=EG××=(﹣1)×=.
∴点G′的横坐标=.
∵≈4.03>4,
∴点G′不在EG上.
故此种情况不成立.
综上所述,点G的坐标为(,0)或(,0).