Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，长方形OACB的顶点A、B分别在x轴与y轴上，已知OA=6，OB=10．点D为y轴上一点，其坐标为(0，2)，点P从点A出发以每秒2个单位的速度沿线段AC﹣CB的方向运动，当点P与点B重合时停止运动，运动时间为t秒．

(1)当点P经过点C时，求直线DP的函数解析式；

(2)如图②，把长方形沿着OP折叠，点B的对应点B′恰好落在AC边上，求点P的坐标．

(3)点P在运动过程中是否存在使△BDP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) y=x+2；(2)见解析；(3)存在，满足题意的P坐标为(6， 6)或(6， )或(6，)．

【解析】

（1）设直线DP解析式为y=kx+b，将D与B坐标代入求出k与b的值，即可确定出解析式；（2）①当P在AC段时，三角形ODP底OD与高为固定值，求出此时面积；当P在BC段时，底边OD为固定值，表示出高，即可列出S与t的关系式；②当点B的对应点B′恰好落在AC边上时，关键勾股定理即可求出此时P坐标；（3）存在，分别以BD，DP，BP为底边三种情况考虑，利用勾股定理及图形与坐标性质求出P坐标即可．

(1)∵OA=6，OB=10，四边形 OACB 为长方形，∴C(6，10)． 设此时直线 DP 解析式为 y=kx+b，

把(0，2)，C(6，10)分别代入，得 ，解得 ，

则此时直线 DP 解析式为 y=x+2；

(2)①当点 P 在线段 AC 上时，OD=2，高为 6，S=6； 当点 P 在线段 BC 上时，OD=2，高为 6+10－2t=16－2t，S= 1 ×2×(16－2t)=－2t+16；

②设 P(m,10），则PB= =m，如图 2， ∵=OB=10， OA=6，

∴ ∴=10－8=2，

∵PC=6－m，∴m2=22+(6－m)2，解得m=，则此时点P的坐标是(，10)；

(3)存在，理由为：若△BDP为等腰三角形，分三种情况考虑：如图3，

①BD=BPl=OB－OD=10－2=8，在 Rt△BCP1 中，BP1=8， BC=6，

根据勾股定理得： ，即P1(6，)；

②当BP2= DP2时，此时P2(6，6)；

③当DB=DP3=8时，在Rt△DEP3中，DE=6，根据勾股定理得：

，∴，即P3 (6，)，

综上，满足题意的P坐标为(6， 6)或(6， )或(6，)．