Question

已知：在平面直角坐标系中矩形OABC如图，且A（6，0）、C（0，10），P点从C出发沿折线COA匀速运动、Q点从O出发沿折线OAB匀速运动，P、Q两点同时出发运动t秒，且速度均为每秒2个单位长度，设S_△OPQ=S．
（1）已知直线y=mx+m-2平分矩形OABC面积，求m的值；（经验之谈：过对称中心的任意一条直线均可将中心对称图形分成面积相等的两部分．）
（2）当P点在CO上、Q点在OA上时，t为何值有S=12？
（3）求在此运动过程中S与t的函数关系式．

Answer 1

分析：（1）先求出矩形OABC对称中心的坐标，把此坐标代入直线y=mx+m-2即可得出m的值；
（2）当P点在CO上、Q点在OA上时，OP=10-2t，OQ=2t，再根据三角形的面积公式求出t的值即可；
（3）分0＜t≤3，3＜t＜5，5＜t≤8三种情况解答即可．

解答：解：（1）∵在平面直角坐标系中矩形OABC中A（6，0）、C（0，10），
∴矩形OABC的对称中心为（3，5），
∴5=3m+m-2，解得m=

7

4

；

（2）∵当P点在CO上、Q点在OA上时，OP=10-2t，OQ=2t，
∴S=

1

2

（10-2t）×2t=12，解得t₁=3，t₂=2；

（3）当0＜t≤3时，OP=10-2t，OQ=2t，
∴S=

1

2

（10-2t）•2t=-2t²+5；
当3＜t＜5时，点P在OC上，点Q在AB上，
∴OP=10-2t，AQ=2t-6，
∴S=

1

2

（10-2t）（2t-6）×6
=-12t²+96t-180；
当5＜t≤8时AP=16-2t，AQ=2t-6，
∴S=

1

2

（16-2t）（2t-6）=-2t²+222t+8．

点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到三角形及梯形的面积公式、矩形的性质等知识，难度适中．