题目内容

【题目】如图①,∠QPN的顶点P在正方形ABCD两条对角线交点处,∠QPN=α,将∠QPN绕点P旋转,旋转过程中∠QPN的两边分别与正方形ABCD的边ADCD交于点E和点F(点F与点C,D不重合).

(1)如图①,当α=90°时,DE,DF,AD之间满足的数量关系是________

(2)如图②,将图①中的正方形ABCD改为∠ADC=120°的菱形,其他条件不变,当α=60°时,(1)中的结论变为________,请给出证明;

(3)(2)的条件下,若旋转过程中∠QPN的边PQ与射线AD交于点E,其他条件不变,当点E落在线段AD的延长线上时,探究DE,DF,AD之间的数量关系(直接写出结论,不用加以证明).

【答案】(1)DE+DF=AD;(2)DE+DF=AD,证明见解析;(3)DF﹣DE=AD,证明见解析.

【解析】

(1)根据题意通过“角边角”证明△APE≌△DPF,得到AE=DF,则可得DE+DF=AD;

(2)如图②,AD的中点M,连接PM,根据题意可证得△MDP是等边三角形进而可通过“角边角”证明△MPE≌△DPF,得到ME=DF,则可得DE+DF=AD;

(3)如图③,当点E落在AD的延长线上时,取AD的中点M,连接PM,同理(2)可证得△MPE≌△DPF,得到ME=DF,则可得DF﹣DE=AD.

(1)正方形ABCD的对角线AC,BD交于点P,

∴PA=PD,∠PAE=∠PDF=45°,

∵∠APE+∠EPD=∠DPF+∠EPD=90°,

∴∠APE=∠DPF,

△APE△DPF

∴△APE≌△DPF(ASA),

∴AE=DF,

∴DE+DF=AD;

(2)如图②,AD的中点M,连接PM,

∵四边形ABCD为菱形,∠ADC=120°,
∴AD=CD,∠DAP=30°,AC⊥BD,
∴∠ADP=∠CDP=60°,
∵AM=MD,
∴PM=MD,

∴△MDP是等边三角形

∴PM=PD,∠MPD=∠PME=∠PDF=60°,

∵∠QPN=60°,

∴∠MPE=∠FPD,

△PME△DPF

∴△MPE≌△DPF(ASA),

∴ME=DF,

∴DE+DF=AD;

(3)如图③,当点E落在AD的延长线上时,取AD的中点M,连接PM,

同(2)可证得,△MDP是等边三角形,
∴∠PME=∠MPD=60°,PM=PD,
∵∠QPN=60°,
∴∠MPE=∠FPD,
在△MPE和△DPF中,


∴△MPE≌△DPF(ASA).
∴ME=DF,
∴DF-DE=ME-DE=DM=AD.

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