Question

如图，点M是平行四边形ABCD的边AD的中点，点P是边BC上的一个动点，PE∥MB，PF∥MC，分别交MC于点E、交MB于点F，如果AB：AD=1：2，试判断四边形PEMF的形状，并说明理由．

Answer 1

分析：先证四边形PEMF是平行四边形，再利用边之间的等量关系，易得AB=CD=AM=DM，再利用等边对等角，易得
∠ABM=∠AMB，∠DMC=∠DCM，结合四边形ABCD是?，易证∠CBM=∠ABM=

1

2

∠ABC，∠DCM=∠BCM=

1

2

∠DCB，
而∠ABC与∠DCB同旁内角互补易得∠MBC+∠MCB=90°，即∠BMC=90°，从而可证四边形PEMF为矩形．

解答：解：四边形PEMF为矩形；（1分）
∵PE∥MB，PF∥MC，
∴四边形PEMF为平行四边形，（3分）
∵平行四边形ABCD，
∴AB=CD，
∵M是边AD的中点，
∴AM=DM=

1

2

AD，
∵AB：AD=1：2，
∴AB=CD=AM=DM，（5分）
∴∠ABM=∠AMB，∠DMC=∠DCM，（6分）
∵AD∥CB，
∴∠CBM=∠AMB，∠DMC=∠BCM，（7分）
∴∠CBM=∠ABM=

1

2

∠ABC，∠DCM=∠BCM=

1

2

∠DCB，
∵AD∥CB，
∴∠ABC+∠DCB=180°，（9分）
∴∠MBC+∠MCB=90°，
∴∠BMC=90°，（10分）
∴平行四边形PEMF为矩形．（12分）

点评：本题利用了?的判定和性质、等边对等角、平行线的性质、矩形的判定．