Question

【题目】已知如图1菱形ABCD，∠ABC=60°，边长为 3，在菱形内作等边三角形△AEF，边长为2 ，点E，点F，分别在AB，AC上，以A为旋转中心将△AEF顺时针转动，旋转角为α，如图2

（1）在图2中证明BE=CF；
（2）若∠BAE=45°，求CF的长度；
（3）当CF= 时，直接写出旋转角α的度数．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接AC，如图2所示：

∵四边形ABCD是菱形，

∴AB=BC=3，

∵∠ABC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=60°，AB=AC，

∵△AEF是等边三角形，

∴AE=AF，∠EAF=60°，

∴∠EAF﹣∠BAF=∠BAC﹣∠BAF，

∴∠BAE=∠CAF，

在△AEB和△AFC中， ，

∴△AEB≌△AFC（SAS），

∴BE=CF；

（2）解：过E点作EM⊥AB于M，如图3所示：

∵∠BAE=45°，则△AEM是等腰直角三角形，

∴EM=AM= AE= ×2 =2，

∴BM=AB﹣AM=3﹣2=1，

在Rt△BME中，由勾股定理得：BE= = = ，

由（1）得：CF=BE= ；

（3）解：过E点作EM⊥AB于M，如图4所示，

则∠EMB=∠EMA=90°，

由（1）得：BE=CF= ，

设AM=x，则BM=3﹣x，

由勾股定理得：BM2=BE2﹣BM2，BM2=AE2﹣AM2，

∴BE2﹣BM2=AE2﹣AM2，即（ ）2﹣（3﹣x）2=（2 ）2﹣x2，

解得：x=0，即点M与A重合，

∴∠BAE=90°，即α=90°；

同理可得：当CF= 时，α还等于270°；

综上所述：当CF= 时，旋转角α的度数为90°或270°

【解析】（1）连接AC，证明△AEB≌△AFC，即可得出结论；（2）过E点作EM⊥AB于M，则△AEM是等腰直角三角形，得出EM=AM= AE=2，求出BM=AB﹣AM=1，在Rt△BME中，由勾股定理求出BE，即可得出CF的长；（3）过E点作EM⊥AB于M，则∠EMB=∠EMA=90°，由（1）得：BE=CF= ，设AM=x，则BM=3﹣x，由勾股定理得出方程，积解方程求出x=0，得出点M与A重合，求出∠BAE=90°，即α=90°；同理可得：当CF= 时，α还等于270°即可．
【考点精析】根据题目的已知条件，利用菱形的性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握菱形的四条边都相等；菱形的对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；菱形被两条对角线分成四个全等的直角三角形；菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．