Question

如图在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A＜∠B，CM是斜边AB的中线，BC=2，将△ACM沿直线CM折叠点A落在点D处，如果CD恰好与AB垂直，垂足为点E，则DE的长为

 

．（保留根号）

Answer 1

分析：CM为斜边AB的中线，根据直角三角形斜边上的中线性质可知CM=BM=MA=MD，又∵CD⊥AB，故EM为等腰△CMD底边上的中线，即CE=ED，且EM平分∠CMD，即∠DME=∠CME=∠B，可证△EDM≌△ECB，则BC=DM，△BCM为等边三角形，DE=CE，在Rt△BCE中求CE即可．

解答：解：CM为Rt△ABC斜边AB的中线，
∴CM=BM=MA=MD，
又∵CD⊥AB，
∴EM为等腰△CMD底边上的中线，即CE=ED，
且EM平分∠CMD，即∠CMA=∠CMD=2∠CME，
而∠CMA+∠CME=180°，即2∠CME+∠CME=180°，
解得∠CME=60°，
∵CM=BM，△BCM为等边三角形，
在Rt△BCE中，CE=DE=BC•sin60°=

3

．
故答案为：

3

．

点评：本题考查了折叠的性质，直角三角形的性质及三角形全等的判定与性质．关键是通过推理得出等边三角形．