题目内容
（2013•三元区质检）已知：如图，平面直角坐标系中，四边形OABC是直角梯形，AB∥OC，OA=5，AB=10，OC=12，抛物线y=ax2+bx经过点B、C．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）一动点P从点A出发，沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，同时动点Q从点C出发，沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，当点P运动到点C时，两点同时停止运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，△PQC是直角三角形？
（3）点M在抛物线上，点N在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M与点N，使以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M与点N的坐标；若不存在，请说明理由．
分析：（1）先写出点B、C的坐标，然后利用待定系数法求二次函数解析式即可；
（2）利用勾股定理列式求出AC的长，再求出点P到达点C的时间，然后表示出CP、CQ的长，然后分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况，利用∠ACO的余弦列式其解即可；
（3）先根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后分①AC是平行四边形的边时，分点M在对称轴左边与右边两种情况求出点M的横坐标，然后代入抛物线解析式计算求出纵坐标，从而求出点M的坐标，再根据点A、C的纵坐标的差距求出点N的纵坐标，然后写出点N的坐标；②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可知点M为抛物线的顶点坐标，再根据中点求出点N即可．
（2）利用勾股定理列式求出AC的长，再求出点P到达点C的时间，然后表示出CP、CQ的长，然后分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况，利用∠ACO的余弦列式其解即可；
（3）先根据抛物线解析式求出对称轴解析式，然后分①AC是平行四边形的边时，分点M在对称轴左边与右边两种情况求出点M的横坐标，然后代入抛物线解析式计算求出纵坐标，从而求出点M的坐标，再根据点A、C的纵坐标的差距求出点N的纵坐标，然后写出点N的坐标；②AC是对角线时，根据平行四边形的对角线互相平分可知点M为抛物线的顶点坐标，再根据中点求出点N即可．
解答：解：（1）∵OA=5，AB=10，OC=12，
∴点B（10，5），C（12，0），
∴
，
解得
，
∴抛物线的函数表达式为y=-
x2+3x；
（2）根据勾股定理，AC=
=
=13，
∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
①∠PQC=90°时，cos∠ACO=
=
，
即
=
，
解得t=
，
②∠CPQ=90°时，cos∠ACO=
=
，
即
=
，
解得t=
，
综上所述，t为
秒或
秒时，△PQC是直角三角形；
（3）抛物线对称轴为直线x=-
=-
=6，
①AC是平行四边形的边时，（i）若点M在对称轴左边，
∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6-12=-6，
代入抛物线解析式得，y=-
×（-6）2+3×（-6）=-27，
此时点M的坐标为（-6，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27-5=-32，
∴点N的坐标为（6，-32）；
（ii）若点M在对称轴右边，∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6+12=18，
代入抛物线解析式得，y=-
×182+3×18=-27，
此时点M的坐标为（18，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27+5=-22，
∴点N的坐标为（6，-22）；
②AC是对角线时，∵点P是AC的中点，点N在对称轴上，
∴点M也在抛物线对称轴上，
∴点M为抛物线的顶点，
∵y=-
x2+3x=-
（x-12x+36）2+9=-
（x-6）2+9，
∴M（6，9），
∵OA=5，OC=12，点P在对称轴上，
∴点P的坐标为（6，
），
∴点N的纵坐标为：2×
-9=-4，
∴点N（6，-4）；
综上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）时，以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形．
∴点B（10，5），C（12，0），
∴
|
解得
|
∴抛物线的函数表达式为y=-
| 1 |
| 4 |
（2）根据勾股定理，AC=
| OA2+OC2 |
| 52+122 |
∵点P沿AC以每秒2个单位长度的速度向点C运动，点Q沿CO以每秒1个单位长度的速度向点O运动，
∴点P运动的时间为：13÷2=6.5秒，
CP=AC-AP=13-2t，CQ=t，
∵∠ACO≠90°，
∴分∠PQC=90°和∠CPQ=90°两种情况讨论：
①∠PQC=90°时，cos∠ACO=
| CQ |
| CP |
| OC |
| AC |
即
| t |
| 13-2t |
| 12 |
| 13 |
解得t=
| 156 |
| 37 |
②∠CPQ=90°时，cos∠ACO=
| CP |
| CQ |
| OC |
| AC |
即
| 13-2t |
| t |
| 12 |
| 13 |
解得t=
| 169 |
| 38 |
综上所述，t为
| 156 |
| 37 |
| 169 |
| 38 |
（3）抛物线对称轴为直线x=-
| b |
| 2a |
| 3 | ||
2×(-
|
①AC是平行四边形的边时，（i）若点M在对称轴左边，
∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6-12=-6，
代入抛物线解析式得，y=-
| 1 |
| 4 |
此时点M的坐标为（-6，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27-5=-32，
∴点N的坐标为（6，-32）；
（ii）若点M在对称轴右边，∵OC=12，
∴点M的横坐标为：6+12=18，
代入抛物线解析式得，y=-
| 1 |
| 4 |
此时点M的坐标为（18，-27），
∵OA=5，
∴点N的纵坐标为：-27+5=-22，
∴点N的坐标为（6，-22）；
②AC是对角线时，∵点P是AC的中点，点N在对称轴上，
∴点M也在抛物线对称轴上，
∴点M为抛物线的顶点，
∵y=-
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
∴M（6，9），
∵OA=5，OC=12，点P在对称轴上，
∴点P的坐标为（6，
| 5 |
| 2 |
∴点N的纵坐标为：2×
| 5 |
| 2 |
∴点N（6，-4）；
综上所述，M（-6，-27）、N（6，-32）或M（18，-27）、N（6，-22）或M（6，9）、N（6，-4）时，以M、N、A、C为顶点的四边形是平行四边形．
点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，解直角三角形，平行四边形的性质，（2）（3）小题中，都用到了分类讨论的数学思想，难点在于考虑问题要全面，做到不重不漏．
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