题目内容
已知△ABC为等边三角形,AB=6,P是AB上的一个动点(与A、B不重合),过点P作AB的垂线与BC相交于点D,以点D为正方形的一个顶点,在△ABC内作正方形DEFG,其中D、E在BC上,F在AC上,(1)设BP的长为x,正方形DEFG的边长为y,写出y关于x的函数解析式及定义域;
(2)当BP=2时,求CF的长;
(3)△GDP是否可能成为直角三角形?若能,求出BP的长;若不能,请说明理由.
分析:(1)在△BDP中,根据已知条件得BD=2x,在△CEF中,根据已知条件得EC=
,得y关于x的函数解析式.再求出x的定义域.
(2)BP=2,根据(2)得到的y关于x的函数解析式求出CF的长.
(3)假设△GDP是直角三角形,得△APF是直角三角形,得PF的x、y的函数解析式.再把(2)得到的关于x、y的函数解析式代入PF的函数解析式中,得到BP的长.
| ||
3 |
(2)BP=2,根据(2)得到的y关于x的函数解析式求出CF的长.
(3)假设△GDP是直角三角形,得△APF是直角三角形,得PF的x、y的函数解析式.再把(2)得到的关于x、y的函数解析式代入PF的函数解析式中,得到BP的长.
解答:解:(1)∵△ABC为等边三角形,
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=6.(1分)
∵DP⊥AB,BP=x,
∴BD=2x.(1分)
又∵四边形DEFG是正方形,
∴EF⊥BC,EF=DE=y,
∴EC=
y.(1分)
∴2x+y+
y=6,(2分)
∴y=(
-3)x+9-3
.(1分)
(6-3
≤x<3)(1分)
(2)当BP=2时,y=(
-3)×2+9-3
=3-
.(1分)
CF=
=2
-2.(1分)
(3)△GDP能成为直角三角形.(1分)
①∠PGD=90°时,
6-x=
y+y,6-x=(
+1)•[(
-3)x+9-3
],
得到:x=
.(2分)
②∠GPD=90°时,G在AB上,参照(1).
∴∠B=∠C=60°,AB=BC=AC=6.(1分)
∵DP⊥AB,BP=x,
∴BD=2x.(1分)
又∵四边形DEFG是正方形,
∴EF⊥BC,EF=DE=y,
∴EC=
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3 |
∴2x+y+
| ||
3 |
∴y=(
3 |
3 |
(6-3
3 |
(2)当BP=2时,y=(
3 |
3 |
3 |
CF=
2y | ||
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3 |
(3)△GDP能成为直角三角形.(1分)
①∠PGD=90°时,
6-x=
3 |
3 |
3 |
3 |
得到:x=
30-6
| ||
11 |
②∠GPD=90°时,G在AB上,参照(1).
点评:此题是一个综合性很强的题目,主要考查等边三角形的性质、解直角三角形、三角形相似、函数等知识.
难度很大,有利于培养同学们钻研和探索问题的精神.
难度很大,有利于培养同学们钻研和探索问题的精神.
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