Question

如图，在直角坐标系中，直线y=

1

2

x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，过点A作CA⊥AB，CA=2

5

，并且作CD⊥x轴．
（1）求证：△ADC∽△BOA；
（2）若抛物线y=-x²+bx+c经过B、C两点．
①求抛物线的解析式；
②该抛物线的顶点为P，M是坐标轴上的一个点，若直线PM与y轴的夹角为30°，请直接写出点M的坐标．

Answer 1

分析：（1）根据互余关系易得∠C=∠BAO，又有∠CDO=∠AOB=90°，易得△ADC∽△BOA；
（2）①由题意得，A、B的坐标，结合（1）的结论，得到AD、CD的长，进而可得抛物线的解析式；
②根据P的坐标及三角函数的意义，易得点M的坐标．

解答：解：（1）∵CA⊥AB
∴∠BAC=90°
∴∠BAO+∠CAD=90°
∵CD⊥x轴
∴∠CDA=90°
∴∠C+∠CAD=90°
∴∠C=∠BAO
又∵∠CDO=∠AOB=90°
∴△ADC∽△BOA；

（2）①由题意得，A（-8，0），B（0，4）
∴OA=8，OB=4，AB=4

5

∵△ADC∽△BOA，CA=2

5

∴AD=2，CD=4
∴C（-10，4）
将B（0，4），C（-10，4）代入y=-x²+bx+c

c=4 -100-10b+c=4

∴

c=4 b=-10

．
∴y=-x²-10x+4
②M₁（0，29+5

3

），M₂（0，29-5

3

），M₃（-

29

3

3

-5，0），M₄（

29

3

3

-5，0）．

点评：本题考查学生将二次函数的图象与解析式相结合处理问题、解决问题的能力．