题目内容

【题目】如图,已知点A的坐标是(﹣10),点B的坐标是(90),以AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C,连接ACBC,过ABC三点作抛物线.

1)求点C的坐标及抛物线的解析式;

2)点EAC延长线上一点,∠BCE的平分线CD⊙O′于点D,求点D的坐标;并直接写出直线BC、直线BD的解析式;

3)在(2)的条件下,抛物线上是否存在点P,使得∠PDB=∠CBD,若存在,请求出点P的坐标,若不存在,请说明理由.

【答案】1C0﹣3),y=x2x﹣3.(2D4﹣5).直线BD的解析式为y=x﹣9.直线BC的解析式为:y=x﹣3.(3)存在,符合条件的点P有两个:P1),P21425).

【解析】

试题(1)已知了AB两点的坐标即可得出OAOB的长,在直角三角形ACB中由于OC⊥AB,因此可用射影定理求出OC的长,即可得出C点的坐标.然后用待定系数法即可求出抛物线的解析式;

2)本题的关键是得出D点的坐标,CD平分∠BCE,如果连接O′D,那么根据圆周角定理即可得出∠DO′B=2∠BCD=∠BCE=90°由此可得出D的坐标为(4﹣5).根据BD两点的坐标即可用待定系数法求出直线BD的解析式;

3)本题要分两种情况进行讨论:

DDP∥BC,交D点右侧的抛物线于P,此时∠PDB=∠CBD,可先用待定系数法求出直线BC的解析式,然后根据BCDP平行,那么直线DP的斜率与直线BC的斜率相同,因此可根据D的坐标求出DP的解析式,然后联立直线DP的解析式和抛物线的解析式即可求出交点坐标,然后将不合题意的舍去即可得出符合条件的P点.

的思路类似,先作与∠CBD相等的角:在O′B上取一点N,使BN=BM.可通过证△NBD≌△MDB,得出∠NDB=∠CBD,然后同的方法一样,先求直线DN的解析式,进而可求出其与抛物线的交点即P点的坐标.综上所述可求出符合条件的P点的值.

解:(1AB为直径作⊙O′,交y轴的负半轴于点C

∴∠OCA+∠OCB=90°

∵∠OCB+∠OBC=90°

∴∠OCA=∠OBC

∵∠AOC=∠COB=90°

∴△AOC∽△COB

∵A﹣10),B90),

解得OC=3(负值舍去).

∴C0﹣3),

故设抛物线解析式为y=ax+1)(x﹣9),

∴﹣3=a0+1)(0﹣9),解得a=

二次函数的解析式为y=x+1)(x﹣9),

y=x2x﹣3

2∵ABO′的直径,且A﹣10),B90),

∴OO′=4O′40),

EAC延长线上一点,∠BCE的平分线CD⊙O′于点D

∴∠BCD=∠BCE=×90°=45°

连接O′DBC于点M

∠BO′D=2∠BCD=2×45°=90°OO′=4O′D=AB=5

∴O′D⊥x

∴D4﹣5).

设直线BD的解析式为y=kx+b

解得

直线BD的解析式为y=x﹣9

∵C0﹣3),

设直线BC的解析式为:y=ax+b

解得:

直线BC的解析式为:y=x﹣3

3)假设在抛物线上存在点P,使得∠PDB=∠CBD

解法一:设射线DP⊙O′于点Q,则=

分两种情况(如图所示):

①∵O′40),D4﹣5),B90),C0﹣3).

把点CD绕点O′逆时针旋转90°,使点D与点B重合,则点C与点Q1重合,

因此,点Q17﹣4)符合=

∵D4﹣5),Q17﹣4),

用待定系数法可求出直线DQ1解析式为y=x﹣

解方程组

P1坐标为(),坐标为()不符合题意,舍去.

②∵Q17﹣4),

Q1关于x轴对称的点的坐标为Q274)也符合=

∵D4﹣5),Q274).

用待定系数法可求出直线DQ2解析式为y=3x﹣17

解方程组

P2坐标为(1425),坐标为(3﹣8)不符合题意,舍去.

符合条件的点P有两个:P1),P21425).

解法二:分两种情况(如图所示):

DP1∥CB时,能使∠PDB=∠CBD

∵B90),C0﹣3).

用待定系数法可求出直线BC解析式为y=x﹣3

∵DP1∥CB

设直线DP1的解析式为y=x+n

D4﹣5)代入可求n=﹣

直线DP1解析式为y=x﹣

解方程组

P1坐标为()或()(不符合题意舍去).

在线段O′B上取一点N,使BN=DM时,得△NBD≌△MDBSAS),

∴∠NDB=∠CBD

知,直线BC解析式为y=x﹣3

x=4,得y=﹣

∴M4),

∴O′N=O′M=

∴N0),

∵D4﹣5),

直线DN解析式为y=3x﹣17

解方程组

P2坐标为(1425),坐标为(3﹣8)不符合题意,舍去.

符合条件的点P有两个:P1),P21425).

解法三:分两种情况(如图所示):

求点P1坐标同解法二.

C点作BD的平行线,交圆O′G

此时,∠GDB=∠GCB=∠CBD

由(2)题知直线BD的解析式为y=x﹣9

∵C0﹣3

可求得CG的解析式为y=x﹣3

Gmm﹣3),作GH⊥x轴交于x轴与H

连接O′G,在Rt△O′GH中,利用勾股定理可得,m=7

D4﹣5)与G74)可得,

DG的解析式为y=3x﹣17

解方程组

P2坐标为(1425),坐标为(3﹣8)不符合题意舍去.

符合条件的点P有两个:P1),P21425).

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