题目内容
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，O、D分别为AB、BC上的点．经过A、D两点的⊙O分别交
AB、AC于点E、F，且D为
的中点．
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当AD=2
，∠CAD=30°时．求
的长．
AB、AC于点E、F，且D为 |
| EF |
（1）求证：BC与⊙O相切；
（2）当AD=2
| 3 |
|
| AD |
（1）证明：连接OD，则OD=OA．
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵
=
，
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；
（2）连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE=
=
=4，
∴⊙O的半径r=2，
∴
的长=
=
π．
∴∠OAD=∠ODA（等边对等角）；
∵
|
| DE |
|
| DF |
∴∠OAD=∠CAD，
∴∠ODA=∠CAD，
∴OD∥AC；
又∵∠C=90°，
∴∠ODC=90°，即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切；
（2）连接DE，则∠ADE=90°．
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°，
∴∠AOD=120°；
在Rt△ADE中，易求AE=
| AD |
| cos∠EAD |
2
| ||||
|
∴⊙O的半径r=2，
∴
|
| AD |
| 120π×2 |
| 180 |
| 4 |
| 3 |
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=2．
的时间为t（秒）．以P、Q为圆心作⊙P和⊙Q，且⊙P和⊙Q的半径分别为4和1．
