题目内容
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,O、D分别为AB、BC上的点.经过A、D两点的⊙O分别交
AB、AC于点E、F,且D为
的中点.
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)当AD=2
,∠CAD=30°时.求
的长.

![]() |
EF |
(1)求证:BC与⊙O相切;
(2)当AD=2
3 |
![]() |
AD |
(1)证明:连接OD,则OD=OA.
∴∠OAD=∠ODA(等边对等角);
∵
=
,
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC;
又∵∠C=90°,
∴∠ODC=90°,即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切;
(2)连接DE,则∠ADE=90°.
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°,
∴∠AOD=120°;
在Rt△ADE中,易求AE=
=
=4,
∴⊙O的半径r=2,
∴
的长=
=
π.

∴∠OAD=∠ODA(等边对等角);
∵
![]() |
DE |
![]() |
DF |
∴∠OAD=∠CAD,
∴∠ODA=∠CAD,
∴OD∥AC;
又∵∠C=90°,
∴∠ODC=90°,即BC⊥OD
∴BC与⊙O相切;
(2)连接DE,则∠ADE=90°.
∵∠OAD=∠ODA=∠CAD=30°,
∴∠AOD=120°;
在Rt△ADE中,易求AE=
AD |
cos∠EAD |
2
| ||||
|
∴⊙O的半径r=2,
∴
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AD |
120π×2 |
180 |
4 |
3 |


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