题目内容
如图，AB为弦，直线BC是⊙O的切线，OC交AB于P，PC=BC．
（1）求证：OA⊥OC；
（2）已知⊙O的半径为3，CP=4，求弦AB的长．
（1）求证：OA⊥OC；
（2）已知⊙O的半径为3，CP=4，求弦AB的长．
（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，CP=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∵CB切⊙O于B，
∴∠OBC=90°，
即∠A+∠APO=∠CBP+∠OBA=90°，
∴∠AOC=180°-90°=90°，
∴OA⊥OC．
（2）
延长CO交⊙O于Q，
∵CP=CB，CP=4，
∴BC=4，
∵CB是⊙O的切线，CMQ是圆O的割线，
由切割线定理得：CB2=CM•CQ，
∴42=CM（CM+3+3），
解得：CM=2，
∴PM=2，OP=3-2=1，
在△AOP中，由勾股定理得：AP=
=
，
由相交弦定理得：AP×BP=MP×PQ，
∴
×BP=2×（3+1），
∴BP=
，
∴AB=AP+BP=
+
=
．
∵OA=OB，CP=CB，
∴∠A=∠OBA，∠CPB=∠CBP，
∵∠APO=∠CPB，
∴∠APO=∠CBP，
∵CB切⊙O于B，
∴∠OBC=90°，
即∠A+∠APO=∠CBP+∠OBA=90°，
∴∠AOC=180°-90°=90°，
∴OA⊥OC．
（2）
延长CO交⊙O于Q，∵CP=CB，CP=4，
∴BC=4，
∵CB是⊙O的切线，CMQ是圆O的割线，
由切割线定理得：CB2=CM•CQ，
∴42=CM（CM+3+3），
解得：CM=2，
∴PM=2，OP=3-2=1，
在△AOP中，由勾股定理得：AP=
| AO2+OP2 |
| 10 |
由相交弦定理得：AP×BP=MP×PQ，
∴
| 10 |
∴BP=
4
| ||
| 5 |
∴AB=AP+BP=
| 10 |
4
| ||
| 5 |
9
| ||
| 5 |
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