题目内容
已知四边形ABCD是边长为2的正方形,以对角线BD为边作正三角形BDE,过E作DA的延长线的垂线EF,垂足为F.
(1)求证:EF=AF;
(2)求AF的长.
(1)求证:EF=AF;
(2)求AF的长.
考点:正方形的性质,全等三角形的判定与性质
专题:
分析:(1)求出EA是BD垂直平分线,求出∠DEB,求出∠EDA,求出∠EAF=∠FEA=45°,即可得出答案;
(2)由勾股定理求出BD=2
,即ED=BD=2
,设AF=EF=x,在Rt△EFD中,由勾股定理得出方程(2
)2=x2+(2+x)2,求出即可.
(2)由勾股定理求出BD=2
2 |
2 |
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解答:(1)证明:连接EA,且延长交BD于O,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45°,AB=AD,
∴A在BD垂直平分线上,
∵三角形BDE是等边三角形,
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°,ED=EB,
∴E在BD的垂直平分线上,
∴AE是BD的垂直平分线,
∴∠DEO=
∠DEB=30°,
∵∠EDB=60°,∠ADB=45°,
∴∠EDA=60°-45°=15°,
∴∠EAF=15°+30°=45°,
∵EF⊥AD,
∴∠EFA=90°,
∴∠FEA=45°=∠EAF,
∴EF=AF.
(2)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=2,∠BAD=90°,
由勾股定理得:BD=2
,
即ED=BD=2
,
设AF=EF=x,
在Rt△EFD中,由勾股定理得:ED2=EF2+FD2,
∴(2
)2=x2+(2+x)2,
x1=-1-
(是负数,不符合题意舍去),x2=-1+
,
即AF=-1+
.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADB=45°,AB=AD,
∴A在BD垂直平分线上,
∵三角形BDE是等边三角形,
∴∠BED=∠EDB=∠EBD=60°,ED=EB,
∴E在BD的垂直平分线上,
∴AE是BD的垂直平分线,
∴∠DEO=
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∵∠EDB=60°,∠ADB=45°,
∴∠EDA=60°-45°=15°,
∴∠EAF=15°+30°=45°,
∵EF⊥AD,
∴∠EFA=90°,
∴∠FEA=45°=∠EAF,
∴EF=AF.
(2)解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD=2,∠BAD=90°,
由勾股定理得:BD=2
2 |
即ED=BD=2
2 |
设AF=EF=x,
在Rt△EFD中,由勾股定理得:ED2=EF2+FD2,
∴(2
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x1=-1-
3 |
3 |
即AF=-1+
3 |
点评:本题考查了线段垂直平分线性质,等边三角形性质,等腰三角形性质,正方形性质,勾股定理的应用,主要考查学生运用性质进行推理和计算的能力.
练习册系列答案
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